🟢 基础破坏局：例题 1 (1) —— 考验根号与分数指数转换#

【题目】 $\int \left( \sqrt[3]{x^2} - \frac{3}{x\sqrt{x}} + \frac{8}{x} \right) dx$

导师破题直觉

微积分的公式库里，根本不存在什么带有 $\sqrt{}$ 的多项式公式。看到根号和分母，无脑全部转换为 $x^n$ （分数次幂和负次幂）的形态！ 剥去它们的伪装。

【考场丝滑连招】

1. 统一着装（变次幂）：

   • $\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$
   • $\frac{1}{x\sqrt{x}} = \frac{1}{x \cdot x^{1/2}} = \frac{1}{x^{3/2}} = x^{-3/2}$
   • $\frac{8}{x} = 8x^{-1}$
   • 原式就变成了清清爽爽的多项式： $\int (x^{2/3} - 3x^{-3/2} + 8x^{-1}) \, dx$

2. 挨个枪毙（利用基本法则 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$）：

   • $x^{2/3} \to \frac{x^{2/3 + 1}}{2/3 + 1} = \frac{3}{5} x^{5/3}$
   • $-3x^{-3/2} \to -3 \cdot \frac{x^{-3/2 + 1}}{-3/2 + 1} = -3 \cdot \frac{x^{-1/2}}{-1/2} = +6 x^{-1/2}$
   • 🚨 顶级防爆预警！ $8x^{-1} \to 8 \cdot \frac{x^0}{0}$？炸了！千万别忘：当次数为 $-1$ 时，原函数是对数！ $\to \mathbf{8 \log|x|}$。（如果不加绝对值 $|x|$，必扣过程分！）

3. 打包装盒（看心情化简）： 院试卷面做到这一步，加上个积分常数 $+ C$，你基本就能拿满分了。严谨的老头可能会希望你把分数指数再变回根号： $= \mathbf{\frac{3}{5} x\sqrt[3]{x^2} + \frac{6}{\sqrt{x}} + 8\log|x| + C}$

🟡 诱惑拆解局：例题 1 (2) —— 伪装的商法则#

【题目】 $\int \frac{(x^2+1)^2}{x^3} dx$

导师破题直觉

再次默念我们的铁律：积分没有商的法则！ 任何考研菜鸟如果想去硬找分式的原函数，就会死在沙滩上。 仔细看，分母只有单薄的 $x^3$ 这一项！这就是老天赏饭吃，摆明了是让你把分子炸开，逐一去除它！

【考场丝滑连招】

1. 分子平推展开： $(x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$。
2. 大卸八块（逐项相除）： $\frac{x^4 + 2x^2 + 1}{x^3} = x + \frac{2}{x} + x^{-3}$ 你看！一个恶心的怪物瞬间变成了 3 只一级小怪！
3. 闭眼收割： $\int \left( x + \frac{2}{x} + x^{-3} \right) dx = \frac{x^2}{2} + 2\log|x| + \frac{x^{-2}}{-2} = \mathbf{\frac{1}{2}x^2 + 2\log|x| - \frac{1}{2x^2} + C}$

(太干脆利落了！只要看见分母是个单项，马上想到分离多项式)。

🔴 大院杀手局：例题 1 (3) —— 系数陷阱与背公式的区别#

【题目】 $\int \frac{5}{9x^2 - 4} dx$

导师破题直觉

这是考研积分极其高频出现的套路模型！特征是：“常数除以二次方程（且没一次项）”。 有两种解法能干掉它。书本演示了一种，我再补充最高效的一招！

【解法一：基本功裂项法（同书中官方解法）】

1. 观察分母 $9x^2 - 4 = (3x-2)(3x+2)$。平方差公式一清二楚。
2. 使用“部分分数分解（部分分数分解）”将大块劈开： 设 $\frac{1}{(3x-2)(3x+2)} = \frac{A}{3x-2} + \frac{B}{3x+2}$。 通分后发现差值刚好是 $4$，所以凑一下： $\frac{1}{9x^2-4} = \frac{1}{4} \left( \frac{3}{3x-2} - \frac{3}{3x+2} \right)$ (这里刻意留了分子 $3$，因为它是内部的导数 $(3x\pm2)'=3$，这极其关键)。
3. 直接套对数积分神技 $\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log|f(x)|$： $\text{原式} = 5 \cdot \frac{1}{4} \left( \log|3x-2| - \log|3x+2| \right) = \mathbf{\frac{5}{12} \log\left| \frac{3x-2}{3x+2} \right| + C}$

【解法二：套无敌公式法（极度推荐！）】

你还记得前两页（p.52）我划星号的那个对数大招公式（4）吗？ $\int \frac{1}{x^2 - a^2} dx = \frac{1}{2a} \log\left| \frac{x-a}{x+a} \right|$

考场最高危避坑

在这个公式里，$x^2$ 前面的系数必须干净得连个屁都没有（必须是 1）！ 这里是 $9x^2$，绝对不能直接套公式（不能盲猜 $a=2, x=3x$ 代进去，必定少系数死翘翘）！

正确的绝杀：先把 $x^2$ 前面的 $9$ 强行抠出去！！ $\text{原式} = \int \frac{5}{9 \left( x^2 - \frac{4}{9} \right)} dx = \frac{5}{9} \int \frac{1}{x^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} dx$ 此时，完美对位标准公式： $a = 2/3$。闭眼代入公式： $= \frac{5}{9} \cdot \left[ \frac{1}{2 \cdot (2/3)} \log\left| \frac{x - 2/3}{x + 2/3} \right| \right]$ 外面算算分数： $\frac{5}{9} \times \frac{3}{4} = \frac{5}{12}$。 对数里面上下同乘个 $3$ 去掉烦人的分数： $\frac{3x-2}{3x+2}$。 答案得出： $\mathbf{\frac{5}{12} \log\left| \frac{3x-2}{3x+2} \right| + C}$！

(你感受一下解法二的杀伤力。它在考场上能比裂项法快至少两分钟，而且绝不容易出错！条件只有一个：把那个 9 给提出来！)

🎓 导师灵魂语录（解读底部的【追记 3.1】）#

你看页面底下，作者加了一段苦口婆心的“碎碎念”。他在说什么呢？

他说：微积分前两章，遇到多么复杂的式子，咱们不管三七二十一，用链式法则都能硬砍出导数。 但是积分不一样！并不是所有的初等函数都能积得出“人类能看懂”的初等原函数的。 （例如 $\int e^{x^2} dx$，就积不出来）。 因此！积分考试本质上就是在玩一个**“认脸配对游戏（特征を識別して積分する）”**。

这 $54$ 页，教给你的这套：

• 见带根号上下式 $\to$ 化次幂
• 见多项分子单项母 $\to$ 分裂
• 见纯二次多项分母 $\to$ 提公因数配对公式 就是第一级的特征配对绝杀。

啊！导师在这里给你鞠躬谢罪！你说得对，那是书上的 56 页！

我刚才脑子一热，直接窜到了第 $66$ 页（那也是“无理函数和指数对数积分法”的超大汇总表），完全跳过了我们在实战中最需要啃下的这块“桥头堡”。你的火眼金睛非常棒！这也再次提醒我们在院试考场上“看清题目题号（页码）”有多重要！

既然我们立刻退回到真正的 第 56 页（对应图片的第 66 页）。 这一页可谓是真正的**“微积分屠龙刀试斩现场”！这一页的 例題 3 完完全全演示了遇到无理函数（根号）时，“三角换元法（三角置換）”** 是如何化腐朽为神奇的。这也是院试计算大题里的满分基石。

作为导师，我立刻带你进入这极其优美的代数变身术中，并教你不用死背公式的“画三角形”反演绝杀！

👑 绝技一：圆之刃 —— 正弦换元（例題 3 (1)）#

【题目要求】 求不定积分 $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx \quad (a > 0)$ （如果你背了 52 页的公式，答案就直接写出来了，但这是教你它是怎么被证出来的。）

导师心法大白话

看到 $\sqrt{\text{常数} - x^2}$，不用想，必须请 $x = a \sin t$ 出山！为什么？因为只有 $a^2 - a^2 \sin^2 t = a^2 \cos^2 t$，能在根号里面凑成完美平方，生生把根号给脱下来！

【满分卷面推导（三个铁血步骤）】

1. 宣示变身（写代换和微元）： 令 $x = a \sin t$。为了保证单调可逆且开根号不带负号，一般限定 $t \in [-\pi/2, \pi/2]$。 那么两边求微分（重要！）： $dx = a \cos t \, dt$。

2. 全面入侵（带入替换并化简）： 把原来的 $x$ 连同 $dx$ 一起换掉： $\int \sqrt{a^2 - (a \sin t)^2} \cdot (a \cos t) \, dt$ 前面的根号化简为 $\sqrt{a^2 \cos^2 t} = a \cos t$。 式子变成了： $\int (a \cos t)(a \cos t) \, dt = a^2 \int \cos^2 t \, dt$。

3. 【高频考点】降次魔法（半角公式）： 千万记住：在积分世界里，没人能直接积出 $\cos^2$ 或者 $\sin^2$。只要看见它们，唯一的出路是利用二倍角公式**“降次（次数を下げる）”**！ $\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$ $a^2 \int \frac{1 + \cos 2t}{2} \, dt = \frac{a^2}{2} \left( t + \frac{1}{2} \sin 2t \right) = \frac{a^2}{2} (t + \sin t \cos t)$

4. 【灵魂动作】逆向脱壳（把 $t$ 变回 $x$）： 我们算出结果有 $t, \sin t, \cos t$，必须换回去。 已知 $x = a \sin t$，那么 $\sin t = \frac{x}{a}$，且 $t = \sin^{-1}(\frac{x}{a})$。 那 $\cos t$ 是多少呢？其实 $\cos t = \sqrt{1 - \sin^2 t} = \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}$。 把这些全塞进去替换： $\frac{a^2}{2} \left( \sin^{-1} \frac{x}{a} + \frac{x}{a} \cdot \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a} \right) = \mathbf{\frac{a^2}{2} \sin^{-1} \frac{x}{a} + \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + C}$ (完美！和咱们在 52 页看见的终极公式完全一样！)

🛡️ 绝技二：双曲线之盾 —— 正切换元（例題 3 (2)）#

【题目要求】 求不定积分 $\int \frac{1}{(a^2 + x^2)^{3/2}} \, dx$

导师破题直觉

看到分母有 $a^2 + x^2$，脑中立刻关联三角学常识 $1 + \tan^2 t = \sec^2 t = 1/\cos^2 t$。 因此遇到“平方相加”，不用犹豫，一律请 $x = a \tan t$ 上场！

【满分卷面推导】

1. 宣示变身： 令 $x = a \tan t$。微分出大杀器： $dx = \frac{a}{\cos^2 t} \, dt$。

2. 化解底部的魔王： 看看那个恶心的分母底座 $(a^2 + x^2)$： $a^2 + a^2 \tan^2 t = a^2(1 + \tan^2 t) = \frac{a^2}{\cos^2 t}$ 现在分母是它的 $3/2$ 次方（先开方再三次方）： 分母变成 $= \left( \frac{a}{\cos t} \right)^3 = \frac{a^3}{\cos^3 t}$。

3. 合并绝杀大消除： $\text{原积分} = \int \frac{1}{\frac{a^3}{\cos^3 t}} \cdot \left( \frac{a}{\cos^2 t} \right) \, dt = \int \frac{\cos^3 t}{a^3} \cdot \frac{a}{\cos^2 t} \, dt$ 上下互相大屠杀后，极其不可思议的事情发生了，竟然只剩下： $\frac{1}{a^2} \int \cos t \, dt$ 这简直比杀鸡还简单：等于 $\frac{1}{a^2} \sin t + C$！

4. 【导师绝招】不会写反函数？画直角三角形法： 现在的难题是，我只知道 $\tan t = x/a$，怎么求出最后的 $\sin t$ result？ 别用代数反推，容易错。在卷子上画一个直角三角形： 找一个角 $t$，既然 $\tan t = x/a = \text{对边} / \text{邻边}$，那么对边标 $x$，邻边标 $a$。 用勾股定理算一下斜边，就是 $\sqrt{a^2+x^2}$。 所以在这个三角形里， $\sin t = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}$！ 不用两秒钟就算出来了。把 $\sin t$ 替换进去： 结论： $= \mathbf{\frac{x}{a^2 \sqrt{a^2+x^2}} + C}$

🎓 导师阅卷室复盘及“注脚神点评”#

书在这页给了你一个非常温馨的 【注意 3.2】： 这里做“不定积分”，算出结果后，我们还要拼死拼活地把 $t$ “回退”成 $x$（极其痛苦且容易算错）。 但是，到了后面两页的 定积分（有上下限） 的计算时，我们就完全不需要再替换回 $x$ 了！只要顺手把上下限的数字换算成新的角度 $t$ 的范围，一路顺着用 $t$ 算出数值即可，极其爽快！所以这门手艺未来简直大有可为。

下方给了几道极好的实战 問題 3.1（底下的 注脚 $\dagger$ 直接把底牌全漏给你了）：

1. 碰到 $(4 - x^2)$ 的形式，跟例题一模一样，令 $x = 2 \sin t$。
2. 碰到 $(1 + x^2)$ 形式，和例题二一样，令 $x = \tan t$。
3. 这是一道伪装题 $\frac{3x}{\sqrt{1-x^4}}$：先进行普通换元令 $u = x^2$，那么 $du = 2x \, dx$，外面的 $x$ 就被消去了，剩下的就是单纯的 $\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \, du$，就是 $\arcsin u$，毫无挑战！

翻到了！第 57 页（书本右上角标着 57，对应图片的第 67 页）。

请系好安全带！这一页在微积分考试中绝对算得上是**“核爆级”的干货**。它的名字叫：【部分積分法（分部积分法 / Integration by Parts）】。

前面学的“换元法”是为了对付复合嵌套的怪物，而“分部积分法”专门用来解决**“两种八竿子打不着的函数（比如 $x^2$ 和 $\sin x$），被硬生生乘在一起”**的跨界杀手！

考官如果在第一道大题出积分，通常不是换元就是分部。 作为你的导师，我先把这个法的**“选角口诀”**教给你，然后带你拆解这三道极其血腥的经典实战例题：

🛡️ 导师独家秘籍：分部积分的“选角潜规则”#

公式咱们都知道： $\int f(x)g'(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \, dx$。 【终极难题】考场上，两人站在一起，到底谁来当被求导的 $f(x)$，谁去当被积分的 $g'(x)$？

👉 口诀：“反对幂指三”原则（选做求导项 $f(x)$ 的优先度）

1. 反：反三角函数（$\arcsin x, \arctan x$）
2. 对：对数函数（$\log x$）
3. 幂：幂函数 / 多项式（$x^n, x^2+1$）
4. 指 / 三：指数函数（$e^x$）、三角函数（$\sin x, \cos x$）

排在前面的，无条件被选作 $f(x)$ 拿去求导（因为它们求导变简单，积分难于登天）。排在后面的老老实实当 $g'(x)$ 被积。 牢记此口诀，这页所有的题都会乖乖变成流水线作业！

👑 例题 4 拆解：分部积分的“三大绝境”#

🎓 导师阅卷室忠告#

部分积分（分部积分）可以说是你在院试里拿分最稳、但也是最容易算错符号的一步。

• 做这类题，你一定要遵循严格的“上下分离书写法”，不要心算 $f'$ 和 $g$！草稿纸一定要留足空隙。
• 遇到 $x^n e^x, x^n \sin x$ 这类的组合，明确是要把多项式的次数一点点削干净。
• 遇到带有 $\log, \arcsin$ 等看起来孤独的个体（下面 问题 4.1 会碰到），时刻记住我在第 $53$ 页教你的那一招：在它前面乘一个虚拟的 $1$，把 $1$ 积分上去当多项式进行分部！

底部的 問題 4.1 中：

• (1) $x e^x$ 是拿去练基本功的秒杀题。
• (2) $\cos x \log(\sin x)$ ，这里有一个超级舒服的伏笔（提示：你可以把外面的 $\cos x \, dx$ 悄悄换元收进 $d(\sin x)$ 里面，瞬间剥掉一层洋葱！这就是换元和分部的组合拳！）。

安排！这可是这半页里隐藏得最深的一位“刺客”： 第 57 页 問題 4.1 (3)。

【题目】 求不定积分： $\int x^3 \sqrt{1-x^2} \, dx$

导师破题直觉

作为你的导师，看到这道题，我会先为你鼓掌。因为在考场上遇到它，普通考生会被直接卡死，但对于掌握了系统武器库的你来说，这道题其实有两种完全不同的“降维解法”！

一种是遵循这一页教学目的的**【高端分部积分法】，另一种是利用我们上一页刚学的【暴力三角换元法】**。我们先讲官方最想考你的神级“拆分法”：

👑 官方正统解法：神级拆分 + 分部积分法#

【导师破题直觉] 题目在“部分积分法（分部积分）”这一节。按我们的口诀“反对幂指三”，只有多项式 $x^3$ 和带根号的多项式 $\sqrt{1-x^2}$，怎么定 $f(x)$ 和 $g'(x)$？ 如果我们令 $f(x) = x^3$，那么 $g'(x) = \sqrt{1-x^2}$，这玩意儿的积分会搞出反正弦 $\arcsin$，事情会变得无比绝望。

【终极破局手段：借鸡生蛋（强行拆分）！】 分部积分的核心是： $g'(x)$ 必须好积分！ 我们发现 $\sqrt{1-x^2}$ 不好积，但是如果给它旁边配上一个 $x$，变成 $x\sqrt{1-x^2}$，那就极其容易积了（用凑微分法）！ 所以，我们无情地把 $x^3$ 劈成两半： $x^3 = x^2 \cdot x$。

【满分推导演示】

1. 构造完美分身： 将原式改写为： $\int \mathbf{x^2} \cdot \mathbf{(x \sqrt{1-x^2})} \, dx$ 此时我们钦定：

   • 负责被求导去死的 $f(x) = x^2 \implies f'(x) = 2x$
   • 负责被积分还原的 $g'(x) = x \sqrt{1-x^2}$

2. 支线任务（计算部件）： 积分：怎么求 $g(x) = \int x(1-x^2)^{1/2} \, dx$？ 心里默默使用换元：令 $u = 1-x^2$，那么 $du = -2x \, dx \implies x \, dx = -\frac{1}{2} \, du$。 $\int -\frac{1}{2} u^{1/2} \, du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} = \mathbf{-\frac{1}{3} (1-x^2)^{3/2}}$ 漂亮！我们拿到了 $g(x)$！

3. 主线合成（启动分部积分公式）： 公式： $\int f \cdot g' \, dx = fg - \int f' g \, dx$。代入！ $= x^2 \cdot \left[ -\frac{1}{3}(1-x^2)^{3/2} \right] - \int 2x \cdot \left[ -\frac{1}{3}(1-x^2)^{3/2} \right] \, dx$ 清理一下后面尾巴的系数（负负得正，提常数出来）： $= -\frac{1}{3}x^2(1-x^2)^{3/2} + \frac{2}{3} \int x (1-x^2)^{3/2} \, dx$

4. 补刀击杀尾巴（最后一次积分）： 最后这个尾巴 $\int x (1-x^2)^{3/2} \, dx$ 眼熟吗？跟第 $2$ 步的支线任务一模一样！还是凑微分！ 直接出结果： $\int u^{3/2} (-\frac{1}{2}) \, du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{5/2} = \mathbf{-\frac{1}{5}(1-x^2)^{5/2}}$ 代入上式并乘以前面的 $\frac{2}{3}$： $\text{最终结果} = -\frac{1}{3}x^2(1-x^2)^{3/2} - \frac{2}{15}(1-x^2)^{5/2} + C$

5. 考场炫技（极限化简，不写不扣分，写了是大神）： 提取公因式 $-\frac{1}{15}(1-x^2)^{3/2}$： $= -\frac{1}{15}(1-x^2)^{3/2} \left[ 5x^2 + 2(1-x^2) \right] + C$ 括号里面 $5x^2 + 2 - 2x^2 = 3x^2 + 2$。 最终绝美答案： $\mathbf{-\frac{1}{15}(1-x^2)^{3/2} (3x^2 + 2) + C}$！

🛡️ 导师备用逃生通道：暴力三角换元法（更无脑）#

如果你在考场高压下，你忘了可以拆分 $x^3$ 怎么办？ 请启动第 $56$ 页教你的最高本能： 看到 $\sqrt{1-x^2}$，直接换上面具令 $x = \sin t$！

【替代流演示】

1. 令 $x = \sin t \implies dx = \cos t \, dt$。
2. 全面代入原式 $\int x^3 \sqrt{1-x^2} \, dx$： $\int (\sin^3 t) (\sqrt{1-\sin^2 t}) (\cos t \, dt) = \int \sin^3 t \cos^2 t \, dt$
3. 三角积分终极法则（扒单变方）：把奇数次幂 $\sin^3 t$ 扒一个下来陪 $dt$！ $\int \sin^2 t \cos^2 t (\sin t \, dt)$ 把 $\sin^2 t$ 全换成 $\cos$： $\int (1 - \cos^2 t) \cos^2 t (\sin t \, dt)$
4. 舒服的凑微分：令 $u = \cos t$，那么 $du = -\sin t \, dt \implies \sin t \, dt = -du$。 $\int (1 - u^2) u^2 (-du) = \int (u^4 - u^2) \, du = \frac{1}{5} u^5 - \frac{1}{3} u^3 + C$
5. 脱下所有的面具换回 $x$： 因为 $u = \cos t = \sqrt{1-x^2}$。代进去： $\mathbf{\frac{1}{5}(1-x^2)^{5/2} - \frac{1}{3}(1-x^2)^{3/2} + C}$

(你看，这个答案如果你提个公因式，和上面第一种解法化简后的结果是完完全全一模一样的！)

🎓 导师判卷建议#

在真正考场上遇到这题，你选哪个？

• 如果你代数变形凑微分类计算极度熟练，我强烈推荐第一种分部积分法。步骤极其简短，写出来能展现非常高级的代数思维，且省去了反三角替换回原函数可能带来的计算错误。
• 如果你当时头脑空白，不想去猜该怎么拆分 $x^3$，请直接闭眼砸三角换元！这个方法稳如老狗，一切全在流程之内。

翻到了！第 58 页（书本左上角标着 58，对应图片的第 68 页）。

如果说上一页是分部积分的基础入门，那么这一页就是把新兵送上战场的**“地狱拉练”**！

这一页的主题是 「積や商の積分（乘积与商的积分）」，在这里，你将学到微积分解答大题中能起到“逆天改命”效果的三大究极实战组合拳！ 特别是这页的 例题 5(1)，它可是算各种抛物线弧长、立体面积时的终极隐藏 Boss。很多同学遇到直接交白卷。

作为你的导师，我把这三道大招为你庖丁解牛，逐字拆招：

👑 第一大招：分部积分的终极奥义「循环移项法」 （例题 5(1)）#

【题目】 $\int \sqrt{x^2 + a} \, dx \quad (a \neq 0)$

导师破题直觉

看着这孤零零的一个大根号，前面我们怎么都积不出它的原形！ 但是你回忆上一页我的口诀：遇到孤单且无法处理的函数，强行给它乘上一个 $1$，然后对 $1$ 进行积分拉它下水做分部积分！

【满分推导演示（此操作必称“神迹”）】

1. 构造法术起手式： 原式设为 $I = \int \mathbf{1} \times \sqrt{x^2+a} \, dx$

   • 令负责积分的 $g'(x) = 1 \implies g(x) = x$
   • 令负责求导的 $f(x) = \sqrt{x^2+a} \implies f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2+a}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+a}}$

2. 带入分部大公式 $\int f g' = f g - \int f' g$： $I = x\sqrt{x^2+a} - \int \frac{x \cdot x}{\sqrt{x^2+a}} \, dx = x\sqrt{x^2+a} - \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+a}} \, dx$

3. 【极其天才的补丁术】对付恶心尾巴：

   借鸡生蛋

   我们要处理尾巴 $\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+a}} \, dx$。看底下有 $x^2+a$，我们在上面**强行“加个 $a$ 减个 $a$”**凑出分母的样子： 分子 $x^2 = (x^2+a) - a$。这招叫“借鸡生蛋”。

   分式劈开： $\frac{(x^2+a) - a}{\sqrt{x^2+a}} = \sqrt{x^2+a} - \frac{a}{\sqrt{x^2+a}}$

4. 【全场最高能：本体重现！】 将分裂出的两项积分塞回第二步的等式中： $I = x\sqrt{x^2+a} - \left( \int \sqrt{x^2+a} \, dx - \int \frac{a}{\sqrt{x^2+a}} \, dx \right)$ 仔细看方括号里的第一项 $\int \sqrt{x^2+a} \, dx$，这特么不就是我们要本尊 $I$ 吗！！！它怎么又自己跑出来了？！ 别怕，这是好消息！我们直接把它换成 $I$，式子变成了普通的代数方程： $I = x\sqrt{x^2+a} - I + a \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a}} \, dx$

5. 代数移项，秒出最终大招： 把右边的 $-I$ 丢到等号左边去，变成了 $2I$！ $2I = x\sqrt{x^2+a} + a \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a}} \, dx$ 最后这一小块积分怎么做？打开我们在 52 页背下来的【公式 6】（无情背诵题）： $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a}} \, dx = \log|x + \sqrt{x^2+a}|$

6. 两边同除 2 收尾，一绝平天下： $I = \mathbf{\frac{1}{2} \left\{ x\sqrt{x^2+a} + a\log|x + \sqrt{x^2+a}| \right\} + C}$

(你在考场上写出这套从拆项到 $2I$ 移项的操作，批卷老师对你的评分会直接拉到卓越级。这属于必须烙印进肌肉记忆的神仙题！)

🪓 第二大招：连环剥洋葱杀 （例题 5(2)）#

【题目】 $\int x^2 e^{-2x} \, dx$

导师破题直觉

标准送分题。“反对幂指三”，选 $x^2$ 当 $f(x)$ 拿来“刀”掉， $e^{-2x}$ 当受气包被积分。 因为有 $x^2$，必须稳如泰山地连砍两刀分部积分，不要嫌累，这是纯考基本功，也是最容易因为丢符号挂掉的地方！

【满分卷面核心防错雷区】

倒数提取法

千万记住！ $e^{-2x}$ 积分一次会跑出来一个 $-\frac{1}{2}$！

1. 第一刀： $\int x^2 e^{-2x} \, dx = x^2 \left( \frac{e^{-2x}}{-2} \right) - \int 2x \left( \frac{e^{-2x}}{-2} \right) \, dx = -\frac{1}{2}x^2 e^{-2x} + \int x e^{-2x} \, dx$ (注意这里负负得正变回加号了，这儿极容易错)。

2. 第二刀（劈后面的尾巴 $\int x e^{-2x} \, dx$）： $\int x e^{-2x} \, dx = x \left( \frac{e^{-2x}}{-2} \right) - \int 1 \cdot \left( \frac{e^{-2x}}{-2} \right) \, dx = -\frac{1}{2}x e^{-2x} + \frac{1}{2} \int e^{-2x} \, dx = -\frac{1}{2}x e^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x}$

3. 扫地拼图，交卷： 把尾巴代回第一刀的式子，提取公因式 $-e^{-2x}/2$，结果美观且无懈可击。 $= \mathbf{-\frac{1}{2} e^{-2x} \left( x^2 + x + \frac{1}{2} \right) + C}$

🧩 第三大招：“一鱼两吃”的高端分拆法 （例题 5(3)）#

【题目】 $\int \frac{2x - 5}{3x^2 + 4} \, dx$

导师破题直觉

这是一道非常恶心的“商の積分”。它不能用初中的裂项分解，因为底下 $3x^2+4$ 这个大石头无法实数分解！ 怎么处理顶上的 $2x-5$？

【终极口诀】“拆分子！带 $x$ 的全部分给 $\log$，带常数的全部分给 $\arctan$ ！”

【考场实战连招】

1. 把大石头劈开，一人领走一半的分子： $\text{原式} = \int \frac{2x}{3x^2+4} \, dx - 5 \int \frac{1}{3x^2+4} \, dx$

2. 对付左手怪（凑分母的导数出 $\log$）： 看 $\frac{2x}{3x^2+4}$。如果下面求个导，应当等于 $6x$。但分子只有可怜的 $2x$。怎么办？ 强行凑！把分子写成 $\frac{1}{3} \cdot 6x$！ $\int \frac{1}{3} \frac{6x}{3x^2+4} \, dx = \frac{1}{3} \int \frac{(3x^2+4)'}{3x^2+4} \, dx = \mathbf{\frac{1}{3} \log(3x^2+4)}$ (看这步顺畅得像不像在给自行车上机油？绝对不拖泥带水)。

3. 对付右手怪（掏大公式变 $\arctan$）： 看后面的 $- 5 \int \frac{1}{3x^2+4} \, dx$。这太典型了，只要把 $x^2$ 前面的系数扣出来，就能上 52 页最牛逼的【公式 3】。 把 3 提出来丢在外面： $-\frac{5}{3} \int \frac{1}{x^2 + 4/3} \, dx = -\frac{5}{3} \int \frac{1}{x^2 + (2/\sqrt{3})^2} \, dx$ 带公式 $\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}$，此时 $a = 2/\sqrt{3}$： $-\frac{5}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \tan^{-1} \left( \frac{x}{2/\sqrt{3}} \right) = \mathbf{-\frac{5}{2\sqrt{3}} \tan^{-1} \frac{\sqrt{3}x}{2}}$

4. 两只怪物拼装，完美过关。（你对比书上标答的结果，跟我们一步步推出来的完全贴合）。

🎓 导师阅卷室忠告#

微积分考试中的大部分定积分或体积问题，都是在算这三个形态！ 这三个技能可以说就是日本考研高分的通关钥匙：

• 例 (1) 是面对不死不活积分题的反打手段：移项法则出同源 $I$！
• 例 (2) 训练你不眼花缭乱的手法与毅力。
• 例 (3) 强迫你牢记把带有未知数的分式用加减拆成 $\log$ 部队 和 $\arctan$ 狙击手两部分各自作战！

♾️ 终极刺客：例题 6 —— 指数与三角函数的同形积分#

【导师破题直觉】 碰到 $\int e^{ax} \sin bx \,dx$ 和 $\int e^{ax} \cos bx \,dx$。 这两兄弟就是死胡同。因为指数 $e^{ax}$ 不管你求导还是积分，它都是 $e^{ax}$；$\sin$ 不管你求导还是积分，就是在 $\cos$ 之间疯狂切换变号。 口诀触发：遇到这对组合，直接上分部积分法连砍，直到本尊再次现身（同形出現）！

这道题，书上展示了两种极其优美的解题门派，我们在考场上随心使用：

🛡️ 导师独家：考场外挂防核对口诀#

TIP

在院试这样时间如金的环境下，如果你算了5分钟推出上面的结果，你心里一定犯嘀咕：我有没有中间写错个正负号？

教你一个绝招：求积分就是求导的逆运算，如果你答案做对了，它求导的结果肯定就是积分里的长相！ 并且，这两个积分是有死背的框架结构的：

$$\int e^{ax} \begin{cases} \sin bx \\ \cos bx \end{cases} dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} \times [ \text{两个三角函数的拼装} ]$$

前面的常数 $\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}$ 雷打不动。如果在考场上时间实在来不及计算这整套移项，可以直接背写结构。

🎯 扫描雷达（下方 問題 6.1 与 6.2 扫荡）#

TIP

如果你读懂了这套绝杀体系，底下的题目基本就在降维打击了：

• 問題 6.1： $\int \frac{\sin 2x}{e^{3x}} dx$。先把恶心的分式变成指数形式 $\int e^{-3x}\sin 2x dx$！直接对照上面的模板：这里就是 $a = -3, b = 2$。照着模板用两刀流法推一遍即可！
• 問題 6.2（综合试刀场）：
  • (1) $x \tan^{-1} x$：反三角必须优先作为 $f(x)$ 拿来“处死求导”。把 $x$ 变成 $x^2/2$。之后又会得到一个能用除法的常规有理式（我们在前几页玩过强行凑 $-1+1$ 那套）！
  • (3) $e^x \log(x+e^{-x})$：这就是院试超高水准防爆题！先拆包！把它打开成 $\log(\frac{xe^x+1}{e^x})$ 之类的怪物？不，不需要！利用分部，将 $e^x$ 视作 $g'$ 积分。之后就会奇迹般地遇到内部对数导数相消除！

🟢 前菜：問題 6.1（同形重现模板套用）#

【题目】 求不定积分 $\int \frac{\sin 2x}{e^{3x}} dx$

【导师破题】 首先变成标准形态：$\int e^{-3x} \sin 2x dx$。 看到 $e^{\text{常数}x}$ 乘以 $\sin/\cos$，马上触犯这一页我们在例题学的“同形出现（移项大法）”。 在考场上，为了极速拿分，你可以直接召唤我们在 p.59 上方证出来的模板公式： $\int e^{ax} \sin bx \,dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a \sin bx - b \cos bx)$ 这道题里，$a = -3, b = 2$。无脑代入： $= \frac{e^{-3x}}{(-3)^2 + 2^2} \left( -3\sin 2x - 2\cos 2x \right) = \mathbf{-\frac{e^{-3x}}{13}(3\sin 2x + 2\cos 2x) + C}$ （非常简单粗暴，考验考场记忆力，过了！）

🟡 硬菜：問題 6.2 (1)(2) （大院刺客与极限对消）#