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新版演習微分積分（４）

2026-05-11

ノート / Notes

院試 / Grad Prep

/

数学 / Math

院试数学特训：微分积分（4）—— 不定积分公式图鉴与直觉#

本笔记专注于《新版演習微分積分》第三章：不定积分。我们将公式按“稀有度”和“考频”分级，并附上院试解题时的“导师直觉”。

🌟 什么是“不定积分”？#

在狂背公式前，基础理论必须扎实：如果 $F'(x) = f(x)$ ，那么 $F(x)$ 就叫做 $f(x)$ 的原始関数（原函数 / Antiderivative）。

NOTE
积分符号 $\int f(x) dx$ 的本质是让你寻找原函数。 绝对不能忘记：最后必须加上 $+ C$ （積分定数 / Constant of integration）。

👑 【SSR 级】院试核爆公式（绝不能忘！）#

这三个公式拉开了大学微积分与高中数学的巨大鸿沟，是院试计算的基石。建议每日默写。

公式 (3)： $\frac{1}{x^2 + a^2}$ 型#

$\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a} + C$

导师直觉
识别特征：没有根号，分母为平方加法 $\implies$ 反正切（ $\arctan$ ）。 易错点：千万别漏了最前面的系数 $\frac{1}{a}$ ！这个公式在后期的复变函数（留数计算）和实分析中极高频出现。

公式 (5)： $\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$ 型#

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \sin^{-1} \frac{x}{a} + C$

导师直觉
识别特征：带有根号，常数减平方 $\implies$ 反正弦（ $\arcsin$ ）。 特别注意：它前面没有系数 $\frac{1}{a}$ ！这是与 $\tan^{-1}$ 最容易混淆的地方。

公式 (6)： $\frac{1}{\sqrt{x^2 + a}}$ 型#

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a}} dx = \log|x + \sqrt{x^2+a}| + C$

导师直觉
识别特征：带有根号，且为平方加常数（或 $x^2$ 在前）。 实战价值：此公式是**计算弧长（曲線の長さ）**的终极利器！如果考场上硬用换元法推导会极其耗时。熟记结果可秒杀全场。

🟡 【SR 级】技巧型“降维”公式（提速专用）#

公式 (2)： $x^{-1}$ 型#

$\int \frac{1}{x} dx = \log|x| + C$

防坑预警
遇到分母为 1 次方的情况，结果必然产生对数。严记：必须加绝对值符号 $|x|$ ，不加必定扣分！

公式 (4)： $\frac{1}{x^2 - a^2}$ 型#

$\int \frac{1}{x^2 - a^2} dx = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| + C$

导师提示
这是分母可分解为 $(x-a)(x+a)$ 的情况。如果你没背过，利用**“部分分数裂项法”**： $\frac{1}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a}\left(\frac{1}{x-a} - \frac{1}{x+a}\right)$ 当场推导也仅需 10 秒。

公式 (19)： $\log x$ 型#

$\int \log x \,dx = x \log x - x + C$

IMPORTANT
对数的积分不能直接求出，它是通过分部积分法 $\int \log x \cdot 1 \,dx$ 推导的。在院试中，该结果已被视为基本公式，直接使用即可。

🔴 【UR 级】恶魔体积与弧长公式（结构记忆法）#

考官常利用公式 (7) 和 (8) 构造摆线或椭圆方程，算半个球或者椭球体积面积，现场推导至少浪费 5 分钟！利用以下结构对称性可以实现秒杀：

公式 (7) & (8)：大根号结构#

$\int \sqrt{a^2 - x^2} \,dx$
$\int \sqrt{x^2 + a} \,dx$

结构破解记忆法
这两个公式的积分结果都由**“两块拼图”**组成，整体乘以 $\frac{1}{2}$ ：

前半块（通用模板）： $x \times (\text{题目原本的大根号项})$

后半块（基因继承）： $a^2 \times (\text{对应的分式积分结果})$

实例演示：

公式 (7)：其分式版本（公式 5）结果是 $\sin^{-1}(x/a)$ ，所以后半块是 $a^2 \sin^{-1}(x/a)$ 。

公式 (8)：其分式版本（公式 6）结果是 $\log|\dots|$ ，所以后半块是 $a^2 \log|x + \sqrt{x^2+a}|$ 。

核心口诀：结果 = $\frac{1}{2}[ x \cdot \text{原身} + a^2 \cdot \text{分式祖宗} ]$

🟢 【三角函数怪区】#

1. 基础倒推 (9)-(12)#

这部分属于高中基础。需要注意日本学术界习惯使用 $\operatorname{cosec} x$ 来表示国内常见的 $\csc x$ 。

2. $\tan x$ 与 $\cot x$ (13)-(14)#

利用恒等式 $\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log|f(x)|$ 即可： $\int \tan x \,dx = -\log|\cos x| + C, \quad \int \cot x \,dx = \log|\sin x| + C$

3. 妖艳的 $\sec x$ 和 $\operatorname{cosec} x$ (15)-(16)#

$\int \sec x \,dx = \log\left|\tan\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right| + C$

NOTE
日本教材常给出带有半角形态的答案。如果你习惯使用 $\log|\sec x + \tan x|$ ，两者在数学上是完全等价的，考场上均可得分。

📚 附录：不定积分公式与法则汇总表#

为了方便查阅，以下将《演習微分積分》中的公式汇总为直观表格，并附带院试常备的恒等式注释。

1. 基本公式一览表#

序号	被积函数 $f(x)$	原函数 $F(x) = \int f(x) dx$	备注 / 注释
①	$x^\alpha$	$\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$	$\alpha \neq -1$
②	$x^{-1}$	$\log \\|x\\|$	绝对值是得分点
③	$\frac{1}{x^2+a^2}$	$\frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a}$	SSR级，极其高频
④	$\frac{1}{x^2-a^2}$	$\frac{1}{2a} \log \left\\| \frac{x-a}{x+a} \right\\|$	可用部分分数拆解
⑤	$\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$	$\sin^{-1} \frac{x}{a}$	注意没有 $1/a$ 系数
⑥	$\frac{1}{\sqrt{x^2+a}}$	$\log \\|x + \sqrt{x^2+a}\\|$	弧长计算核心公式
⑦	$\sqrt{a^2-x^2}$	$\frac{1}{2}(x\sqrt{a^2-x^2} + a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a})$	扇形与圆面积相关
⑧	$\sqrt{x^2+a^2}$	$\frac{1}{2}\{x\sqrt{x^2+a^2} + a^2 \log(x+\sqrt{x^2+a^2})\}$	结构对称记忆
⑨	$\sin x$	$-\cos x$	别记反符号
⑩	$\cos x$	$\sin x$	——
⑪	$\sec^2 x$	$\tan x$	$\sec x = 1/\cos x$
⑫	$\operatorname{cosec}^2 x$	$-\cot x$	$\operatorname{cosec} x = 1/\sin x$
⑬	$\tan x$	$-\log \\|\cos x\\|$	——
⑭	$\cot x$	$\log \\|\sin x\\|$	——
⑮	$\sec x$	$\log \\|\tan(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4})\\|$	等价于 $\log \\|\sec x + \tan x\\|$
⑯	$\operatorname{cosec} x$	$\log \\|\tan \frac{x}{2}\\|$	——
⑰	$e^x$	$e^x$	——
⑱	$a^x$	$\frac{a^x}{\log a}$	——
⑲	$\log x$	$x(\log x - 1)$	记作 $x \log x - x$

记忆辅助

倒数关系： $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ ， $\operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x}$ ， $\cot x = \frac{1}{\tan x}$ 。

符号法则：三角函数积分结果为 co- 开头的（ $\cos, \cot, \csc$ ）通常带有负号（或原函数带负号）。

2. 积分演算基本法则#

法则类型	公式表达	核心要点
线性性质	$\int \{f(x) \pm g(x)\} dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$	复号同顺
常数提取	$\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$	$k$ 为常数
部分积分法	$\int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx$	优先级：对反幂三指
换元积分法	$\int f(g(t))g'(t) dt = \int f(x) dx$	设 $x = g(t)$
对数型	$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log \\|f(x)\\|$	分子是分母的导数

3. 有理函数与递推公式（高级篇）#

在处理分母为 $x^2+a^2$ 的高次幂时，需要用到渐化式（递推公式）：

设 $I_n = \int \frac{1}{(x^2 + a^2)^n} dx$ ，则有： $I_n = \frac{1}{a^2} \left\{ \frac{x}{(2n-2)(x^2+a^2)^{n-1}} + \frac{2n-3}{2n-2} I_{n-1} \right\} \quad (n \ge 2)$ 其中起始项 $I_1 = \frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a}$ 。

院试注意
该递推公式在计算概率论中的 t-分布或复杂的物理功积分时偶有出现，若能记住结构（尤其是 $I_n$ 与 $I_{n-1}$ 的系数关系），可以极大地节省现场推导时间。

⚔️ 第一战区：积分法的四大绝招（公式 1-6）#

(1) 和 (2) 是小儿科的加减乘除提取常数，我们直接跳过，直击后四个最强杀招：

👑 绝招一：部分积分法（部分積分法 / Integration by Parts）#

【公式 (3)】： $\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx$

【导师考场直觉】 只要看到**“完全不搭界的两种函数”乘在一起**（比如 $x \cdot \sin x$ ，或者 $x^2 \cdot e^x$ ），毫无悬念，这是让你用部分积分！
【心法】 永远把“容易求导化简”（或者求导几次后会死掉变成0）的那个函数设为 $f(x)$ （前导），把好积分的那个设为 $g'(x)$ （后积）。这样后面新生成的积分 $\int f'(x)g(x)$ 就会降维变简单。

💣 绝招二：“强行借 1 法”（公式 4，隐蔽的大杀器！）#

【公式 (4)】： $\int f(x)dx = x f(x) - \int x f'(x) dx$

【导师揭秘】 你可能觉得这公式脱裤子放屁，把简单的式子搞复杂了。大错特错！这是对付 $\log x, \arcsin x, \arctan x$ 的究极必杀技！
【实战场景】 考官让你求 $\int \log x dx$ 。你没背公式怎么办？强行把它看成 $\int (\mathbf{1} \cdot \log x) dx$ ！这里的“ $1$ ”就是你的 $g'(x)$ （它积分变成了 $x$ ），而 $\log x$ 是你的 $f(x)$ 。直接代入公式(4)： $\mathbf{x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int 1 dx = x \log x - x}$ 。瞬间秒杀！

🔄 绝招三：换元积分法（置換積分法 / Substitution）#

【公式 (5)】： $x = g(t) \implies \int f(x)dx = \int f(g(t))g'(t)dt$

【考场纪律】 换元法则最重要的不仅是把 $x$ 换成 $t$ ，连带着必须把后面的小尾巴 $dx$ 也换成 $g'(t)dt$ ！ 少写这一步，满盘皆输。
后面到了定积分，还要强调一句：“换元必换限（上下边界也得跟着变）”！

🎯 绝招四：黄金分式口诀（隐形刺客）#

【公式 (6)】： $\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log|f(x)|$

【导师灵魂拷问】 这是全卷最爽、最救命的公式！！！
【实战雷达】 以后不管碰到什么复杂的分式，第一眼先盯着分母看，在脑子里默默给分母求个导。 只要发现“分子的长相，恰好是分母的导数”（或者差一个常数倍），你不要做任何挣扎，直接写答案 $\mathbf{\log|\text{分母}|}$ ！ (例如：求 $\int \frac{x}{x^2+1} dx$ 。分母求导是 $2x$ 。分子刚好是 $x$ ，差个 $1/2$ 。直接口算得出答案： $\frac{1}{2} \log|x^2+1|$ )。太重要了，必须练成下意识反射！

🧩 第二战区：有理分式屠宰场（公式 7-8）#

什么是“有理函数”积分？就是 “多项式除以多项式”（例如 $\frac{3x+1}{x^3 - 4x}$ ）。日本院试几乎必考这个题型。这半页书给了你解决这类问题的终极 S.O.P（标准作业流程）：

核心思想：任何复杂的真分式，不管分母多长，你只要“部分分数分解（裂项）”，最后总能变成三种最基本的形态，然后各个击破！

碎片形态 1：一次因式的 N 次方 —— (公式 7)#

例如： $\frac{A}{x-a}$ 或是 $\frac{A}{(x-a)^3}$

积 $\frac{A}{x-a}$ 直接等于 $A \log|x-a|$ 。（黄金口诀应用）。
次方大于 1 的，直接用基本次幂法则： $\int (x-a)^{-n} dx = \frac{1}{-n+1}(x-a)^{-n+1}$ 。这是送分的白皮怪。

碎片形态 2：不可因式分解的二次怪兽 —— (公式 8_1)#

当你遇到了底下是一个死活没法因式分解的二次方，且分子刚好带了个 $t$ 的： $\frac{t}{(t^2+a^2)^n}$ 。

导师破局： 又来了！上面是 $t$ ，下面是 $t^2+a^2$ 。底下求导正好等于 $2t$ 。这就是“黄金分式公式(6)”的变体（带了次方而已），直接用简单换元 $u = t^2+a^2$ 秒了它。对于 $n=1$ 的情况就是最舒爽的 $\frac{1}{2}\log(t^2+a^2)$ 。

碎片形态 3：极度邪恶的最终 BOSS —— 渐化式降维 (公式 8_2)#

也就是你看到的最底下的那个巨无霸公式。处理像 $I_n = \int \frac{1}{(t^2+a^2)^n} dt \ (n \ge 2)$ 的东西。

【🚨 导师防焦虑指南】：看着这段长长的一串，是不是开始心跳加速、害怕考场背不出来？ 放宽心！在全日本90%以上的院试考卷上，考官不会要求你死背这个“递推公式（漸化式）”！ 出题教授一般的玩法是：
- 要么让你算最基础的 $n=1$ ： $\int \frac{1}{t^2+a^2} dt = \frac{1}{a} \arctan \frac{t}{a}$ （绝对要背熟！）
- 如果考 $n \ge 2$ ，通常是一道大型综合题，第一小问必定是“引导你去推导这个递推关系式”！我们明天或者后面专门遇到这个例题时（如 P.62 例题9），我会手把手带你用“分部积分法”自己去创造这把剑。现在，只要混个眼熟，知道有这种降次玩法就行！