Apoyu 's Blog

1. 台形公式（梯形公式 / Trapezoidal Rule）#

【原理】 不用长方形去估算面积，而是把两个相邻的函数值点用直线连起来，算出每个小“梯形”的面积（上底 + 下底 $\times$ 高 $\div$ 2），最后求和。

把区间 $[a, b]$ 平均切成 $n$ 份，每一份的宽度设为 $h = \frac{b-a}{n}$。各个切点的 $y$ 坐标依次是 $y_0, y_1, y_2, \dots, y_n$。

【公式系数规律：1 - 2 - 2 - … - 2 - 1】 $\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x \approx \frac{h}{2} \left\{ y_0 + 2(y_1 + \dots + y_{n-1}) + y_n \right\}$

理解记忆：只有两头的端点 $y_0$ 和 $y_n$ 各被算了一次（作为外侧的边），而中间所有的切线（$y_1$ 到 $y_{n-1}$）都同时充当了左边梯形和右边梯形的边，所以系数被乘了 $2$。

2. シンプソンの公式（辛普森公式 / Simpson’s Rule）#

【原理】 梯形法是用直线拟合，不够平滑。辛普森法是用**二次抛物线（抛物線）去拟合顶部的曲线，因此它的精确度高出几个量级！为了确定一条抛物线需要 $3$ 个点，所以它必须将整个区间划分为偶数（$\mathbf{2n}$）**等份。

将区间 $[a, b]$ 切成 $2n$ 份，宽度为 $h = \frac{b-a}{2n}$。

【公式系数规律：1 - 4 - 2 - 4 - 2 - … - 4 - 1】 $\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x \approx \frac{h}{3} \left\{ y_0 + 4(y_{\text{奇数项之和}}) + 2(y_{\text{内部偶数项之和}}) + y_{2n} \right\}$ $= \frac{h}{3} \left\{ y_0 + 4(y_1 + y_3 + \dots) + 2(y_2 + y_4 + \dots) + y_{2n} \right\}$

理解记忆：辛普森公式不仅计算精度高，这套 $\mathbf{1, 4, 2, 4, \dots, 1}$ 的系数在计算机算法里也被直接固定编程。注意最外面乘的比例常数变成了 $\mathbf{\frac{h}{3}}$。

📝 【误差补充】 书上给了两个计算误差（$\Delta$）上限的不等式。对于我们院试复习来说：你只需知道台形公式的误差与二次导数最大值 $M$ 有关；而辛普森公式的误差更小，由四次导数控制。通常不会让你背出复杂的误差界公式，但在计算大题的最后一小问会直接考你用公式算结果（如后面章节的习题会展示）。

(1) 双曲线 $xy + x + y = 1$ 与两坐标轴正半轴围成的面积#

• 解题直觉：首先需要将隐函数写成 $y = f(x)$ 的显函数形式，并求出它与坐标轴的交点。
• 计算步骤：
  1. 变形方程：$y(x + 1) = 1 - x \implies y = \frac{1 - x}{x + 1}$。
  2. 利用多项式除法化简：$y = \frac{-(x + 1) + 2}{x + 1} = -1 + \frac{2}{x + 1}$。
  3. 求交点：
     • 令 $x = 0 \implies y = 1$（$y$ 轴交点为 $1$）；
     • 令 $y = 0 \implies x = 1$（$x$ 轴交点为 $1$）。
  4. 在第一象限内，积分区间为 $[0, 1]$： $S = \int_0^1 \left( -1 + \frac{2}{x + 1} \right) \, \mathrm{d}x = \left[ -x + 2 \log|x + 1| \right]_0^1$ $= (-1 + 2 \log 2) - (0 + 0) = \mathbf{2 \log 2 - 1}$

(2) 放物线（抛物线变种） $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a} \ (a > 0)$ 与两坐标轴围成的面积#

• 解题直觉：由于带有根号，先圈定定义域：$x \ge 0, y \ge 0$。函数被锁定在第一象限，端点为 $(a, 0)$ 和 $(0, a)$。
• 计算步骤：
  1. 解出 $y$：$\sqrt{y} = \sqrt{a} - \sqrt{x} \implies y = (\sqrt{a} - \sqrt{x})^2 = a - 2\sqrt{a}\sqrt{x} + x$。
  2. 在区间 $[0, a]$ 上进行定积分： $S = \int_0^a \left( a - 2\sqrt{a} x^{1/2} + x \right) \, \mathrm{d}x = \left[ ax - 2\sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} + \frac{1}{2} x^2 \right]_0^a$ $= \left( a^2 - \frac{4}{3}a^2 + \frac{1}{2}a^2 \right) - 0 = a^2 \left( 1 - \frac{4}{3} + \frac{1}{2} \right) = \mathbf{\frac{1}{6}a^2}$

(3) 曲线 $y = \frac{1}{x^2 + 1}$ 与抛物线 $x^2 = 2y$ 围成的面积#

• 解题直觉：首先需要联立方程，求出两曲线的交点，并判断谁在上方（天花板），谁在下方（地板）。
• 计算步骤：
  1. 联立方程：将 $y = \frac{x^2}{2}$ 代入 $y = \frac{1}{x^2 + 1}$： $\frac{x^2}{2} = \frac{1}{x^2 + 1} \implies x^4 + x^2 - 2 = 0 \implies (x^2 + 2)(x^2 - 1) = 0$ 由于 $x$ 为实数，解得：$x = 1$ 或 $x = -1$。
  2. 判断上下关系：在区间 $[-1, 1]$ 内，显然 $\frac{1}{x^2 + 1}$ 在上方，$\frac{x^2}{2}$ 在下方。并且由于两函数都是偶函数，图像关于 $y$ 轴对称。
  3. 利用对称性计算面积： $S = 2 \int_0^1 \left( \frac{1}{x^2 + 1} - \frac{x^2}{2} \right) \, \mathrm{d}x = 2 \left[ \tan^{-1} x - \frac{x^3}{6} \right]_0^1$ $= 2 \left( \tan^{-1}(1) - \frac{1}{6} \right) = 2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{6} \right) = \mathbf{\frac{\pi}{2} - \frac{1}{3}}$

(4) 三叶线 $r = a \sin 3\theta$ 与圆 $r = a$ 之间部分的面积#

• 解题直觉：这里的“之间部分”指的是圆的面积减去三叶线所占的面积。
• 计算步骤：
  1. 圆的面积显然为：$S_{\text{圆}} = \pi a^2$。
  2. 计算三叶线的总面积。三叶线一共有 $3$ 片叶子，我们先计算其中一片（区间为 $\theta \in [0, \pi/3]$）： $S_{\text{单叶}} = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/3} r^2 \, \mathrm{d}\theta = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/3} a^2 \sin^2 3\theta \, \mathrm{d}\theta$ 利用半角公式降次：$\sin^2 3\theta = \frac{1 - \cos 6\theta}{2}$： $= \frac{a^2}{4} \int_0^{\pi/3} (1 - \cos 6\theta) \, \mathrm{d}\theta = \frac{a^2}{4} \left[ \theta - \frac{\sin 6\theta}{6} \right]_0^{\pi/3} = \frac{a^2}{4} \left( \frac{\pi}{3} - 0 \right) = \frac{\pi a^2}{12}$
  3. 三叶线总面积：$S_{\text{三叶}} = 3 \times S_{\text{单叶}} = \frac{\pi a^2}{4}$。
  4. 两者之间部分的面积： $S = S_{\text{圆}} - S_{\text{三叶}} = \pi a^2 - \frac{\pi a^2}{4} = \mathbf{\frac{3}{4}\pi a^2}$

(5) 双纽线 $(x^2 + y^2)^2 = a^2(x^2 - y^2)$ 所围成的面积#

• 解题直觉：直角坐标系下极其难算，必须利用极坐标公式。
• 计算步骤：
  1. 代入极坐标转换公式：$x^2 + y^2 = r^2$，$x = r \cos\theta, y = r \sin\theta$： $(r^2)^2 = a^2(r^2 \cos^2\theta - r^2 \sin^2\theta) \implies r^4 = a^2 r^2 \cos 2\theta \implies \mathbf{r^2 = a^2 \cos 2\theta}$
  2. 确定积分区间：由于 $r^2 \ge 0$，要求 $\cos 2\theta \ge 0$，因此 $-\frac{\pi}{2} \le 2\theta \le \frac{\pi}{2} \implies -\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{4}$（这代表右边的一片叶子）。
  3. 利用对称性计算双叶总面积： $S = 2 \times \left( \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} r^2 \, \mathrm{d}\theta \right) = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} a^2 \cos 2\theta \, \mathrm{d}\theta$ $= 2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} a^2 \cos 2\theta \, \mathrm{d}\theta = 2a^2 \left[ \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = 2a^2 \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = \mathbf{a^2}$

(1) 求曲线 $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$ 的全长 $L$#

• 解题直觉：如果直接用直角坐标系公式 $\int \sqrt{1 + y'^2} \, \mathrm{d}x$，根号内部很难化简。 书后答案给出了一个非常经典的参数化方法（参数方程表示）： 令 $x = a \cos^4 t$，$y = a \sin^4 t$ （由于在第一象限，区间为 $0 \le t \le \frac{\pi}{2}$）。 验证：$\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a} \cos^2 t + \sqrt{a} \sin^2 t = \sqrt{a}(\cos^2 t + \sin^2 t) = \sqrt{a}$。完全合理！
• 计算步骤：
  1. 分别求对 $t$ 的一阶导数： $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = -4a \cos^3 t \sin t, \quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 4a \sin^3 t \cos t$
  2. 计算弧长微元（根号内部化简）： $\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2 = 16a^2 \cos^6 t \sin^2 t + 16a^2 \sin^6 t \cos^2 t$ 提取公因式 $16a^2 \sin^2 t \cos^2 t$： $= 16a^2 \sin^2 t \cos^2 t \left( \cos^4 t + \sin^4 t \right)$ 利用恒等式 $\cos^4 t + \sin^4 t = (\cos^2 t + \sin^2 t)^2 - 2 \sin^2 t \cos^2 t = 1 - 2 \sin^2 t \cos^2 t$。 代回并开根号（由于 $0 \le t \le \frac{\pi}{2}$，正弦余弦皆为正）： $\mathrm{d}s = 4a \sin t \cos t \sqrt{1 - 2 \sin^2 t \cos^2 t} \, \mathrm{d}t$
  3. 进行定积分计算： $L = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 4a \sin t \cos t \sqrt{1 - 2 \sin^2 t \cos^2 t} \, \mathrm{d}t$ 【换元法破局】：令 $u = \sin^2 t \implies \mathrm{d}u = 2 \sin t \cos t \, \mathrm{d}t$。 换限：$t = 0 \implies u = 0$；$t = \frac{\pi}{2} \implies u = 1$。 $L = 2a \int_0^1 \sqrt{1 - 2u(1 - u)} \, \mathrm{d}u = 2a \int_0^1 \sqrt{2u^2 - 2u + 1} \, \mathrm{d}u$
  4. 配方并套用公式： 根号内配方：$2\left(u^2 - u + \frac{1}{2}\right) = 2\left[ \left(u - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} \right]$。 $L = 2\sqrt{2}a \int_0^1 \sqrt{\left(u - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} \, \mathrm{d}u$ 令 $v = u - \frac{1}{2}$（换限：$-\frac{1}{2} \to \frac{1}{2}$）： $L = 2\sqrt{2}a \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{v^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} \, \mathrm{d}v = 4\sqrt{2}a \int_0^{\frac{1}{2}} \sqrt{v^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} \, \mathrm{d}v$ 套用我们在第 52 页背过的【公式 8】：$\int \sqrt{x^2 + A} \, \mathrm{d}x$： 经过严谨的代入和对数化简（书后答案略去了这部分繁琐的数值计算）： $L = \mathbf{a + \frac{a}{\sqrt{2}} \log(1 + \sqrt{2})}$

Step 1：寻找定积分与 $\log 2$ 的关系#

为什么这个积分能算出 $\log 2$？我们先做个理论验算： $\int_0^1 \frac{1}{1 + x} \, \mathrm{d}x = [ \log|1 + x| ]_0^1 = \log 2 - \log 1 = \log 2$ 确实完全相等！所以，只要我们用数值逼近算出这个积分的值，它就是 $\log 2$ 的近似值。

Step 2：确定计算参数（游戏配置）#

• 等分数 $2n = 10$ （切成 $10$ 等份，所以这里的 $n = 5$）。
• 步长 $h$：$h = \frac{1 - 0}{10} = 0.1$。
• 被积函数 $f(x)$：$f(x) = \frac{1}{1 + x}$。
• 切点坐标 $x_i$：$x_0 = 0, x_1 = 0.1, x_2 = 0.2, \dots, x_{10} = 1.0$。

为了保证最后能精确到小数点后第 $5$ 位，我们计算中间值 $y_i = f(x_i)$ 时，统一保留到小数点后第 $7$ 位。

Step 3：计算各切点高度 $y_i$（这是纯纯的手工细心活）#

• 两端点（首尾相加）： $y_0 = f(0) = 1$ $y_{10} = f(1.0) = \frac{1}{2} = 0.5$ $y_0 + y_{10} = \mathbf{1.5000000}$
• 奇数项（系数为 $4$ 的部分）： 我们需要算出 $y_1, y_3, y_5, y_7, y_9$ 的值：
  • $y_1 = \frac{1}{1.1} \approx 0.9090909$
  • $y_3 = \frac{1}{1.3} \approx 0.7692308$
  • $y_5 = \frac{1}{1.5} \approx 0.6666667$
  • $y_7 = \frac{1}{1.7} \approx 0.5882353$
  • $y_9 = \frac{1}{1.9} \approx 0.5263158$ 把它们相加，奇数项和为：$3.4595395$。 乘上公式要求的 $4$ 倍： $4 \times 3.4595395 = \mathbf{13.8381580}$
• 偶数项（系数为 $2$ 的部分，不含首尾）： 我们需要算出 $y_2, y_4, y_6, y_8$ 的值：
  • $y_2 = \frac{1}{1.2} \approx 0.8333333$
  • $y_4 = \frac{1}{1.4} \approx 0.7142857$
  • $y_6 = \frac{1}{1.6} = 0.6250000$
  • $y_8 = \frac{1}{1.8} \approx 0.5555556$ 把它们相加，偶数项和为：$2.7281746$。 乘上公式要求的 $2$ 倍： $2 \times 2.7281746 = \mathbf{5.4563492}$

Step 4：代入辛普森大公式，终极大合体#

辛普森公式： $I \approx \frac{h}{3} \left\{ (y_0 + y_{10}) + 4(\text{奇数项和}) + 2(\text{偶数项和}) \right\}$ 把我们刚才算出的三个大色块数据塞进去： $I \approx \frac{0.1}{3} \left\{ 1.5000000 + 13.8381580 + 5.4563492 \right\}$ $I \approx \frac{0.1}{3} \times 20.7945072$ $I \approx 0.69315024$

根据题目要求，四舍五入保留到小数点后第五位： $\log 2 \approx \mathbf{0.69315}$