非常抱歉！刚才为了活跃气氛，我用的比喻和形容词实在太多、太浮夸了，导致句子结构混乱，反而把数学的重点给掩盖了。这是我的失误，作为导师，清晰和准确永远是第一位的。
让我们把浮夸的词藻全部去掉，用最平实、最清晰的理工科语言 ，重新把这一页（第 91 页，四大几何应用公式）的核心逻辑为你梳理一遍。
在院试的计算大题中，背诵这一页的公式是拿分的基石。我们分四个部分来清晰地讲解：
一、 极坐标下的面积公式（極座標で表される図形の面積）# 如果题目给的曲线是极坐标方程 r = f ( θ ) r = f(\theta) r = f ( θ )
核心公式 ：
S = 1 2 ∫ α β { f ( θ ) } 2 d θ ( 也就是 1 2 ∫ α β r 2 d θ ) S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \{f(\theta)\}^2 \, \mathrm{d}\theta \quad \left(\text{也就是 } \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 \, \mathrm{d}\theta\right) S = 2 1 ∫ α β { f ( θ ) } 2 d θ ( 也就是 2 1 ∫ α β r 2 d θ ) 如何理解 ：极坐标求面积的本质是“切扇形”。一个圆心角为 Δ θ \Delta \theta Δ θ r r r 1 2 r 2 Δ θ \frac{1}{2} r^2 \Delta \theta 2 1 r 2 Δ θ 【考试易错点】 ：
⚠️ 考场上因为推导 r 2 r^2 r 2 忘记乘以外面那个 1 2 \mathbf{\frac{1}{2}} 2 1 。这是极其致命且可惜的丢分点。
二、 求曲线的长度 / 弧长（曲線の長さ）# 无论题目是用哪种坐标系给出曲线，求长度的根本原理只有一个：微小线段利用勾股定理求长，即 d s = d x 2 + d y 2 \mathrm{d}s = \sqrt{\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2} d s = d x 2 + d y 2 。书上衍生出了三种写法：
直角坐标方程 y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x ) ：
提取 d x \mathrm{d}x d x L = ∫ a b 1 + ( y ′ ) 2 d x L = \int_a^b \sqrt{1 + (y')^2} \, \mathrm{d}x L = ∫ a b 1 + ( y ′ ) 2 d x 参数方程（媒介変数表示）x = x ( t ) , y = y ( t ) x = x(t), y = y(t) x = x ( t ) , y = y ( t ) ：
把 x x x y y y t t t t t t L = ∫ t 1 t 2 ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{ \left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2 } \, \mathrm{d}t L = ∫ t 1 t 2 ( d t d x ) 2 + ( d t d y ) 2 d t 极坐标方程 r = f ( θ ) r = f(\theta) r = f ( θ ) ：
利用几何转换，弧长的极坐标表达形式为：
L = ∫ α β r 2 + ( d r d θ ) 2 d θ L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{ r^2 + \left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}\right)^2 } \, \mathrm{d}\theta L = ∫ α β r 2 + ( d θ d r ) 2 d θ
💡 【备考建议】
这三个公式都需要熟练默写。尤其是求参数方程或极坐标的弧长时，根号内部往往能通过**“完全平方公式（配平方法）”**化简掉根号，这是做这类题算定积分的前提。
三、 立体体积的一般求法（立体の体积）#
核心公式 ：
V = ∫ a b S ( x ) d x V = \int_a^b S(x) \, \mathrm{d}x V = ∫ a b S ( x ) d x 如何理解 ：这是“切片法”。就像切面包一样，如果你能知道立体在任意 x x x 横截面面积 S ( x ) S(x) S ( x ) ，只需要把这些极薄的截面顺着 x x x a a a b b b 四、 旋转体体积（回転体の体积）# 如果一条曲线 y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x ) x x x
基本公式 ：
V = π ∫ a b { f ( x ) } 2 d x ( 或者简写为 V = π ∫ a b y 2 d x ) V = \pi \int_a^b \{f(x)\}^2 \, \mathrm{d}x \quad \left(\text{或者简写为 } V = \pi \int_a^b y^2 \, \mathrm{d}x\right) V = π ∫ a b { f ( x ) } 2 d x ( 或者简写为 V = π ∫ a b y 2 d x ) 原理很简单 ：绕 x x x π ⋅ r 2 \pi \cdot r^2 π ⋅ r 2 y y y S ( x ) = π y 2 S(x) = \pi y^2 S ( x ) = π y 2
【极其容易扣分的地方：如果题目给的是参数方程！】 ：
⚠️ （看这页书的右下角最后那个蓝色小框）。如果曲线是由 x = x ( t ) , y = y ( t ) x = x(t), y = y(t) x = x ( t ) , y = y ( t ) x x x V = π ∫ { y ( t ) } 2 d t V = \pi \int \{y(t)\}^2 \, \mathrm{d}t V = π ∫ { y ( t ) } 2 d t 这完全错了！
正确的推导过程是：
你要算的是 π ∫ y 2 d x \pi \int y^2 \, \mathrm{d}x π ∫ y 2 d x x x x t t t y y y y ( t ) y(t) y ( t ) 后面那个积分微元 d x \mathbf{\mathrm{d}x} d x t t t d x = d x d t d t \mathbf{\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \, \mathrm{d}t} d x = d t d x d t 。
正确的公式是：
V = π ∫ t 1 t 2 y 2 ⋅ d x d t d t V = \pi \int_{t_1}^{t_2} y^2 \cdot \mathbf{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} \, \mathrm{d}t V = π ∫ t 1 t 2 y 2 ⋅ d t d x d t d x d t \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} d t d x x x x t t t
这一次我的讲解恢复到正常的教书授课模式了，这四大核心几何应用的重点逻辑是不是清晰很多？这几条公式是接下来的实战里避不开的，只要理解了每个公式里面的变量到底是什么，考场上直接代入定积分计算即可。
请问现在这样的语言节奏您可以顺畅阅读了吗？我们可以基于这种客观清晰的方式，翻到下一页去实打实地计算几道极坐标与参数方程的应用题。
翻到了！第 92 页（书本左上角标着 92 ，对应图片的第 102 页）。
这一页的内容由两部分构成：上半部分是旋转体的表面积公式 ，这是几何应用积分的最后一块拼图；下半部分是定积分的近似计算 ，这是面向工程和应用数学专业必考的数值分析基础。
我继续使用最直白、严谨的理科语言为你梳理这两大板块的核心考点。
一、 旋转体的表面积（回転体の表面積）# 上一页我们学了“旋转体的体积（切圆盘）”。这里讲的是如果一条曲线 y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x ) x x x
【公式背后的几何原理】
想象用一把刀在这个旋转体上切出一个极薄的“环形表皮（圆柱面）”。
这个环展开后的长度，也就是圆的周长：2 π y 2\pi y 2 π y
这个环的宽度，并不是水平的 d x \mathrm{d}x d x d s \mathrm{d}s d s
所以，微小表面积就是：周长 × \times × 2 π y ⋅ d s 2\pi y \cdot \mathrm{d}s 2 π y ⋅ d s
结合上一页学过的“弧长 d s \mathrm{d}s d s
直角坐标形式 ：
弧长 d s = 1 + ( y ′ ) 2 d x \mathrm{d}s = \sqrt{1 + (y')^2} \, \mathrm{d}x d s = 1 + ( y ′ ) 2 d x S = 2 π ∫ a b y 1 + ( d y d x ) 2 d x S = 2\pi \int_a^b y \sqrt{1 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2} \, \mathrm{d}x S = 2 π ∫ a b y 1 + ( d x d y ) 2 d x 参数方程形式（极其重要） ：
如果曲线由 x = x ( t ) , y = y ( t ) x = x(t), y = y(t) x = x ( t ) , y = y ( t ) d s = ( x ′ ) 2 + ( y ′ ) 2 d t \mathrm{d}s = \sqrt{(x')^2 + (y')^2} \, \mathrm{d}t d s = ( x ′ ) 2 + ( y ′ ) 2 d t S = 2 π ∫ t 1 t 2 y ( t ) ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t S = 2\pi \int_{t_1}^{t_2} y(t) \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2} \, \mathrm{d}t S = 2 π ∫ t 1 t 2 y ( t ) ( d t d x ) 2 + ( d t d y ) 2 d t
🚨 【考场防坑点】
在使用这个公式时，题目一般默认函数图像在 x x x y ≥ 0 y \ge 0 y ≥ 0 x x x y y y ∣ y ∣ |y| ∣ y ∣
二、 定积分的近似计算（定積分の近似計算）# 为什么要有这个内容？
微积分里有很多函数是积不出“原函数”的 （例如 e − x 2 , sin x x , 1 + x 3 e^{-x^2}, \frac{\sin x}{x}, \sqrt{1+x^3} e − x 2 , x s i n x , 1 + x 3
这里给出了两种最重要的近似算法：
1. 台形公式（梯形公式 / Trapezoidal Rule）# 【原理】
不用长方形去估算面积，而是把两个相邻的函数值点用直线 连起来，算出每个小“梯形”的面积（上底 + 下底 × \times × ÷ \div ÷
把区间 [ a , b ] [a, b] [ a , b ] n n n h = b − a n h = \frac{b-a}{n} h = n b − a y y y y 0 , y 1 , y 2 , … , y n y_0, y_1, y_2, \dots, y_n y 0 , y 1 , y 2 , … , y n
【公式系数规律：1 - 2 - 2 - … - 2 - 1】
∫ a b f ( x ) d x ≈ h 2 { y 0 + 2 ( y 1 + ⋯ + y n − 1 ) + y n } \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x \approx \frac{h}{2} \left\{ y_0 + 2(y_1 + \dots + y_{n-1}) + y_n \right\} ∫ a b f ( x ) d x ≈ 2 h { y 0 + 2 ( y 1 + ⋯ + y n − 1 ) + y n }
理解记忆：只有两头的端点 y 0 y_0 y 0 y n y_n y n y 1 y_1 y 1 y n − 1 y_{n-1} y n − 1 2 2 2
2. シンプソンの公式（辛普森公式 / Simpson’s Rule）# 【原理】
梯形法是用直线拟合，不够平滑。辛普森法是用**二次抛物线（抛物線）去拟合顶部的曲线，因此它的精确度高出几个量级！为了确定一条抛物线需要 3 3 3 偶数（2 n \mathbf{2n} 2n
将区间 [ a , b ] [a, b] [ a , b ] 2 n 2n 2 n h = b − a 2 n h = \frac{b-a}{2n} h = 2 n b − a
【公式系数规律：1 - 4 - 2 - 4 - 2 - … - 4 - 1】
∫ a b f ( x ) d x ≈ h 3 { y 0 + 4 ( y 奇数项之和 ) + 2 ( y 内部偶数项之和 ) + y 2 n } \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x \approx \frac{h}{3} \left\{ y_0 + 4(y_{\text{奇数项之和}}) + 2(y_{\text{内部偶数项之和}}) + y_{2n} \right\} ∫ a b f ( x ) d x ≈ 3 h { y 0 + 4 ( y 奇数项之和 ) + 2 ( y 内部偶数项之和 ) + y 2 n } = h 3 { y 0 + 4 ( y 1 + y 3 + … ) + 2 ( y 2 + y 4 + … ) + y 2 n } = \frac{h}{3} \left\{ y_0 + 4(y_1 + y_3 + \dots) + 2(y_2 + y_4 + \dots) + y_{2n} \right\} = 3 h { y 0 + 4 ( y 1 + y 3 + … ) + 2 ( y 2 + y 4 + … ) + y 2 n }
理解记忆：辛普森公式不仅计算精度高，这套 1 , 4 , 2 , 4 , … , 1 \mathbf{1, 4, 2, 4, \dots, 1} 1 , 4 , 2 , 4 , … , 1 h 3 \mathbf{\frac{h}{3}} 3 h
📝 【误差补充】
书上给了两个计算误差（Δ \Delta Δ 台形公式的误差与二次导数最大值 M M M 。通常不会让你背出复杂的误差界公式，但在计算大题的最后一小问会直接考你用公式算结果（如后面章节的习题会展示）。
总结与复习建议# 第 92 页其实就是一个工具箱页面 。
上半部分给了你算 3D 物体表皮面积的拼装刀 ，下半部分给了你绕开原始求积法，强制逼近答案的两把算盘 。
理解这两个物理及图形意义后，这上面的公式就没有那么难记了。
接下来的 第 93 页 （图解例题 31），就正好为你展示了如何使用这些公式、以及定积分在求椭圆与参数方程式长、积上的完美收网应用！
这部分关于公式来源或“系数如何配置”的解释清楚了吗？准备好的话，我们可以翻页去进行应用类积分的真枪实战。
翻到了！第 93 页（书本右上角标着 93 ，对应图片的第 103 页）。
这一页非常经典，它是我们将前面的积分技巧、几何应用公式以及参数方程综合起来的第一场“大阅兵”。
本页的核心主角只有一个，但也是考试中最常考的基础几何体之一：【楕円（椭圆 / Ellipse）】 。
考题要求你求椭圆的面积 S S S 和 周长（弧长） L L L 。这里面藏着极其高妙的代数替换与数学界的“无奈之举”。
我来带你用标准的考场视角，将这两个任务分别拆解：
🟢 任务一：求椭圆的面积 S S S # 【题目公式】 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 ) \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \ (a > b > 0) a 2 x 2 + b 2 y 2 = 1 ( a > b > 0 )
【考场 SOP：对称性折叠法】
先抓第一象限 ：
千万不要去算整个积分区间 [ − a , a ] [-a, a] [ − a , a ] 第一象限（右上角的 1 / 4 1/4 1/4 ，算完后乘以 4 4 4 提取函数 y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x ) ：
在第一象限中 y > 0 y > 0 y > 0 y y y y 2 = b 2 ( 1 − x 2 a 2 ) ⟹ y = b a a 2 − x 2 y^2 = b^2 \left( 1 - \frac{x^2}{a^2} \right) \implies \mathbf{y = \frac{b}{a} \sqrt{a^2 - x^2}} y 2 = b 2 ( 1 − a 2 x 2 ) ⟹ y = a b a 2 − x 2 列出面积积分 ：
由于我们只算 0 0 0 a a a 1 4 S = ∫ 0 a b a a 2 − x 2 d x \frac{1}{4} S = \int_0^a \frac{b}{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, \mathrm{d}x 4 1 S = ∫ 0 a a b a 2 − x 2 d x 积分秒杀（无需繁杂换元） ：
把常数 b a \frac{b}{a} a b ∫ 0 a a 2 − x 2 d x \int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} \, \mathrm{d}x ∫ 0 a a 2 − x 2 d x 半径为 a a a 呀！不用去算 x = a sin θ x = a \sin\theta x = a sin θ 1 4 π a 2 \mathbf{\frac{1}{4} \pi a^2} 4 1 π a 2 整合答案 ：
1 4 S = b a ⋅ ( 1 4 π a 2 ) = 1 4 π a b \frac{1}{4} S = \frac{b}{a} \cdot \left(\frac{1}{4} \pi a^2\right) = \frac{1}{4} \pi a b 4 1 S = a b ⋅ ( 4 1 π a 2 ) = 4 1 πab 4 4 4 S = π a b S = \mathbf{\pi a b} S = π ab (这个结果也请你当常识记住。如果是圆，就是 a = b = r a = b = r a = b = r π r 2 \pi r^2 π r 2
🔴 任务二：求椭圆的周长 L L L # 到了算弧长，如果用普通直角坐标公式 ∫ 1 + y ′ 2 d x \int \sqrt{1 + y'^2} \, \mathrm{d}x ∫ 1 + y ′2 d x 唯一正确的路：改用【参数方程（媒介変数）】求弧长！
【教科书级别的操作流程】
参数化椭圆（引入极其重要的 θ \theta θ ：
如 注意 3.9 讲解的那样，椭圆的标准参数方程为：
x = a cos θ , y = b sin θ x = a \cos\theta, \quad y = b \sin\theta x = a cos θ , y = b sin θ (补充：这里的 θ \theta θ *“离心角（離心角）”**，看图 3.20，它是椭圆外接大圆对应的角度，并不是椭圆上点 P P P 列弧长公式 ：
同样只算第一象限 0 ∼ π 2 0 \sim \frac{\pi}{2} 0 ∼ 2 π 4 4 4 L = ∫ ( d x / d θ ) 2 + ( d y / d θ ) 2 d θ L = \int \sqrt{(\mathrm{d}x/\mathrm{d}\theta)^2 + (\mathrm{d}y/\mathrm{d}\theta)^2} \, \mathrm{d}\theta L = ∫ ( d x / d θ ) 2 + ( d y / d θ ) 2 d θ d x / d θ = − a sin θ , d y / d θ = b cos θ \mathrm{d}x/\mathrm{d}\theta = -a \sin\theta, \quad \mathrm{d}y/\mathrm{d}\theta = b \cos\theta d x / d θ = − a sin θ , d y / d θ = b cos θ L = 4 ∫ 0 π 2 a 2 sin 2 θ + b 2 cos 2 θ d θ L = 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{a^2 \sin^2\theta + b^2 \cos^2\theta} \, \mathrm{d}\theta L = 4 ∫ 0 2 π a 2 sin 2 θ + b 2 cos 2 θ d θ 魔法变身，向标准式靠拢（注意看代数过程） ：
怎样才能让这个带有两个未知参数的杂牌军，变成只有一个主流参数的标准化样式？
因为 a > b a > b a > b e e e e 2 = a 2 − b 2 a 2 e^2 = \frac{a^2 - b^2}{a^2} e 2 = a 2 a 2 − b 2 b 2 = a 2 ( 1 − e 2 ) b^2 = a^2(1 - e^2) b 2 = a 2 ( 1 − e 2 ) a 2 sin 2 θ + b 2 cos 2 θ = a 2 sin 2 θ + a 2 ( 1 − e 2 ) cos 2 θ a^2 \sin^2\theta + b^2 \cos^2\theta = a^2 \sin^2\theta + a^2(1 - e^2) \cos^2\theta a 2 sin 2 θ + b 2 cos 2 θ = a 2 sin 2 θ + a 2 ( 1 − e 2 ) cos 2 θ a 2 a^2 a 2 a sin 2 θ + cos 2 θ − e 2 cos 2 θ = a 1 − e 2 cos 2 θ a \sqrt{\sin^2\theta + \cos^2\theta - e^2 \cos^2\theta} = \mathbf{a \sqrt{1 - e^2 \cos^2\theta}} a sin 2 θ + cos 2 θ − e 2 cos 2 θ = a 1 − e 2 cos 2 θ 【导师防眩晕提醒】书本为什么最后变成了 sin 2 θ \sin^2\theta sin 2 θ
在最后的结果中，你看书上写的是 L = 4 a ∫ 0 π 2 1 − e 2 sin 2 θ d θ L = 4a \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 - e^2 \mathbf{\sin^2\theta}} \, \mathrm{d}\theta L = 4 a ∫ 0 2 π 1 − e 2 sin 2 θ d θ cos 2 θ \cos^2\theta cos 2 θ [ 0 , π 2 ] \mathbf{\left[0, \frac{\pi}{2}\right]} [ 0 , 2 π ] ∫ cos 2 θ \int \cos^2\theta ∫ cos 2 θ ∫ sin 2 θ \int \sin^2\theta ∫ sin 2 θ 完全一模一样 的（你用 θ = π 2 − u \theta = \frac{\pi}{2} - u θ = 2 π − u sin \sin sin 🚨 注意 3.10 ：考场避坑终极圣旨（何谓第 2 种椭圆积分）#
【🚨 注意 3.10：考场避坑终极指令】
你看，我们推出了 L = 4 a ∫ 0 π 2 1 − e 2 sin 2 θ d θ L = 4a \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 - e^2 \sin^2\theta} \, \mathrm{d}\theta L = 4 a ∫ 0 2 π 1 − e 2 sin 2 θ d θ
这段文字 注意 3.10 ，是一道“免责声明”。
作者极其直白地告诉你：在这团根号里的东西（也就是所谓的第一种/第二种完全椭圆积分 / 第 2 種楕円積分），无法通过我们人类已知的所有初等函数（log , sin , e x \log, \sin, e^x log , sin , e x 这是一个被永远定格的形式。
【考场战略指令】：
如果在期末考或者院试大题里，你让你算一段弧长，算到这里或者类似卡住无法展开的不规则平方式开根，且题目并没有给定诸如 a = 1 , e = 0 a = 1, e = 0 a = 1 , e = 0 就请将这串 ∫ \int ∫ Wait, user had “有边界和被积公式”, not “有边界 and 被积公式”.
Let me write “带有边界和被积公式作为最终结果直接交卷！”.
有很多强迫症考生在这一步疯狂想要尝试 u = sin θ , sec θ u = \sin\theta, \sec\theta u = sin θ , sec θ
🎯 沙盘检验：底部 问题 31.1 & 31.2# 如果你怕这块弧长没有闭环快感，底下的两道题就是能用代数手法完美化解积出长度常数的题型！
问题 31.1 星芒形（アステロイド） ：
你还记得我们昨天求二阶导那道折磨题吗！它的参数 x = a cos 3 t , y = a sin 3 t x = a \cos^3 t, y = a \sin^3 t x = a cos 3 t , y = a sin 3 t 9 a 2 cos 4 t sin 2 t + 9 a 2 sin 4 t cos 2 t \sqrt{9a^2 \cos^4 t \sin^2 t + 9a^2 \sin^4 t \cos^2 t} 9 a 2 cos 4 t sin 2 t + 9 a 2 sin 4 t cos 2 t 9 a 2 sin 2 t cos 2 t ( cos 2 t + sin 2 t ) 9a^2 \sin^2 t \cos^2 t (\cos^2 t + \sin^2 t) 9 a 2 sin 2 t cos 2 t ( cos 2 t + sin 2 t ) 3 a ∣ sin t cos t ∣ 3a|\sin t \cos t| 3 a ∣ sin t cos t ∣ 问题 31.2 摆线（サイクロイド） ：
弧长进入根号下以后，会留下一个巨大的 2 − 2 cos θ \sqrt{2 - 2 \cos\theta} 2 − 2 cos θ 1 − cos θ = 2 sin 2 ( θ / 2 ) 1 - \cos\theta = 2 \sin^2(\theta/2) 1 − cos θ = 2 sin 2 ( θ /2 ) 这两道才是考验微积分实战能力、而且能让你拿到最终分数的好题！
你这下明白当图形遇到曲折不尽时的处理心态了吗？如果逻辑贯通，下一页会带来同样极其闻名但难度再次登峰的参数方程王储级曲线计算：卡迪奥形/心脏线 (Cardioid) 定面测算大考点！ （也就是我们的第 94 页了，你可以选择在任何演草步骤上有不懂的地方提出来，或下达直接前进的命令）！
下面为你详细讲解第 94 页（对应 PDF 第 104 页）中的問題 32.1 和問題 32.2 。
这两组习题是第二章与第三章几何应用的综合检测。其中不仅包含了直角坐标系下的面积、弧长计算，还融入了极坐标系的经典曲线和非常巧妙的参数方程代换。
为了便于你系统复习，我将结合书末给出的标准答案，逐题为你进行逻辑和计算步骤的详细拆解。
一、 問題 32.1 详细讲解（面积计算）# 本题要求计算各曲线所围成的面积。做这类题目的首要步骤是确定积分区间与上下边界函数 。
(1) 双曲线 x y + x + y = 1 xy + x + y = 1 x y + x + y = 1 #
解题直觉 ：首先需要将隐函数写成 y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x ) 计算步骤 ：
变形方程：y ( x + 1 ) = 1 − x ⟹ y = 1 − x x + 1 y(x + 1) = 1 - x \implies y = \frac{1 - x}{x + 1} y ( x + 1 ) = 1 − x ⟹ y = x + 1 1 − x
利用多项式除法化简：y = − ( x + 1 ) + 2 x + 1 = − 1 + 2 x + 1 y = \frac{-(x + 1) + 2}{x + 1} = -1 + \frac{2}{x + 1} y = x + 1 − ( x + 1 ) + 2 = − 1 + x + 1 2
求交点：
令 x = 0 ⟹ y = 1 x = 0 \implies y = 1 x = 0 ⟹ y = 1 y y y 1 1 1
令 y = 0 ⟹ x = 1 y = 0 \implies x = 1 y = 0 ⟹ x = 1 x x x 1 1 1
在第一象限内，积分区间为 [ 0 , 1 ] [0, 1] [ 0 , 1 ] S = ∫ 0 1 ( − 1 + 2 x + 1 ) d x = [ − x + 2 log ∣ x + 1 ∣ ] 0 1 S = \int_0^1 \left( -1 + \frac{2}{x + 1} \right) \, \mathrm{d}x = \left[ -x + 2 \log|x + 1| \right]_0^1 S = ∫ 0 1 ( − 1 + x + 1 2 ) d x = [ − x + 2 log ∣ x + 1∣ ] 0 1 = ( − 1 + 2 log 2 ) − ( 0 + 0 ) = 2 log 2 − 1 = (-1 + 2 \log 2) - (0 + 0) = \mathbf{2 \log 2 - 1} = ( − 1 + 2 log 2 ) − ( 0 + 0 ) = 2 log 2 − 1
(2) 放物线（抛物线变种） x + y = a ( a > 0 ) \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a} \ (a > 0) x + y = a ( a > 0 ) #
解题直觉 ：由于带有根号，先圈定定义域：x ≥ 0 , y ≥ 0 x \ge 0, y \ge 0 x ≥ 0 , y ≥ 0 ( a , 0 ) (a, 0) ( a , 0 ) ( 0 , a ) (0, a) ( 0 , a ) 计算步骤 ：
解出 y y y y = a − x ⟹ y = ( a − x ) 2 = a − 2 a x + x \sqrt{y} = \sqrt{a} - \sqrt{x} \implies y = (\sqrt{a} - \sqrt{x})^2 = a - 2\sqrt{a}\sqrt{x} + x y = a − x ⟹ y = ( a − x ) 2 = a − 2 a x + x
在区间 [ 0 , a ] [0, a] [ 0 , a ] S = ∫ 0 a ( a − 2 a x 1 / 2 + x ) d x = [ a x − 2 a ⋅ 2 3 x 3 / 2 + 1 2 x 2 ] 0 a S = \int_0^a \left( a - 2\sqrt{a} x^{1/2} + x \right) \, \mathrm{d}x = \left[ ax - 2\sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} + \frac{1}{2} x^2 \right]_0^a S = ∫ 0 a ( a − 2 a x 1/2 + x ) d x = [ a x − 2 a ⋅ 3 2 x 3/2 + 2 1 x 2 ] 0 a = ( a 2 − 4 3 a 2 + 1 2 a 2 ) − 0 = a 2 ( 1 − 4 3 + 1 2 ) = 1 6 a 2 = \left( a^2 - \frac{4}{3}a^2 + \frac{1}{2}a^2 \right) - 0 = a^2 \left( 1 - \frac{4}{3} + \frac{1}{2} \right) = \mathbf{\frac{1}{6}a^2} = ( a 2 − 3 4 a 2 + 2 1 a 2 ) − 0 = a 2 ( 1 − 3 4 + 2 1 ) = 6 1 a 2
(3) 曲线 y = 1 x 2 + 1 y = \frac{1}{x^2 + 1} y = x 2 + 1 1 x 2 = 2 y x^2 = 2y x 2 = 2 y #
解题直觉 ：首先需要联立方程，求出两曲线的交点，并判断谁在上方（天花板），谁在下方（地板）。计算步骤 ：
联立方程：将 y = x 2 2 y = \frac{x^2}{2} y = 2 x 2 y = 1 x 2 + 1 y = \frac{1}{x^2 + 1} y = x 2 + 1 1 x 2 2 = 1 x 2 + 1 ⟹ x 4 + x 2 − 2 = 0 ⟹ ( x 2 + 2 ) ( x 2 − 1 ) = 0 \frac{x^2}{2} = \frac{1}{x^2 + 1} \implies x^4 + x^2 - 2 = 0 \implies (x^2 + 2)(x^2 - 1) = 0 2 x 2 = x 2 + 1 1 ⟹ x 4 + x 2 − 2 = 0 ⟹ ( x 2 + 2 ) ( x 2 − 1 ) = 0 x x x x = 1 x = 1 x = 1 x = − 1 x = -1 x = − 1
判断上下关系：在区间 [ − 1 , 1 ] [-1, 1] [ − 1 , 1 ] 1 x 2 + 1 \frac{1}{x^2 + 1} x 2 + 1 1 x 2 2 \frac{x^2}{2} 2 x 2 y y y
利用对称性计算面积：
S = 2 ∫ 0 1 ( 1 x 2 + 1 − x 2 2 ) d x = 2 [ tan − 1 x − x 3 6 ] 0 1 S = 2 \int_0^1 \left( \frac{1}{x^2 + 1} - \frac{x^2}{2} \right) \, \mathrm{d}x = 2 \left[ \tan^{-1} x - \frac{x^3}{6} \right]_0^1 S = 2 ∫ 0 1 ( x 2 + 1 1 − 2 x 2 ) d x = 2 [ tan − 1 x − 6 x 3 ] 0 1 = 2 ( tan − 1 ( 1 ) − 1 6 ) = 2 ( π 4 − 1 6 ) = π 2 − 1 3 = 2 \left( \tan^{-1}(1) - \frac{1}{6} \right) = 2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{6} \right) = \mathbf{\frac{\pi}{2} - \frac{1}{3}} = 2 ( tan − 1 ( 1 ) − 6 1 ) = 2 ( 4 π − 6 1 ) = 2 π − 3 1
(4) 三叶线 r = a sin 3 θ r = a \sin 3\theta r = a sin 3 θ r = a r = a r = a #
解题直觉 ：这里的“之间部分”指的是圆的面积减去三叶线所占的面积 。计算步骤 ：
圆的面积显然为：S 圆 = π a 2 S_{\text{圆}} = \pi a^2 S 圆 = π a 2
计算三叶线的总面积。三叶线一共有 3 3 3 θ ∈ [ 0 , π / 3 ] \theta \in [0, \pi/3] θ ∈ [ 0 , π /3 ] S 单叶 = 1 2 ∫ 0 π / 3 r 2 d θ = 1 2 ∫ 0 π / 3 a 2 sin 2 3 θ d θ S_{\text{单叶}} = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/3} r^2 \, \mathrm{d}\theta = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/3} a^2 \sin^2 3\theta \, \mathrm{d}\theta S 单叶 = 2 1 ∫ 0 π /3 r 2 d θ = 2 1 ∫ 0 π /3 a 2 sin 2 3 θ d θ sin 2 3 θ = 1 − cos 6 θ 2 \sin^2 3\theta = \frac{1 - \cos 6\theta}{2} sin 2 3 θ = 2 1 − c o s 6 θ = a 2 4 ∫ 0 π / 3 ( 1 − cos 6 θ ) d θ = a 2 4 [ θ − sin 6 θ 6 ] 0 π / 3 = a 2 4 ( π 3 − 0 ) = π a 2 12 = \frac{a^2}{4} \int_0^{\pi/3} (1 - \cos 6\theta) \, \mathrm{d}\theta = \frac{a^2}{4} \left[ \theta - \frac{\sin 6\theta}{6} \right]_0^{\pi/3} = \frac{a^2}{4} \left( \frac{\pi}{3} - 0 \right) = \frac{\pi a^2}{12} = 4 a 2 ∫ 0 π /3 ( 1 − cos 6 θ ) d θ = 4 a 2 [ θ − 6 s i n 6 θ ] 0 π /3 = 4 a 2 ( 3 π − 0 ) = 12 π a 2
三叶线总面积：S 三叶 = 3 × S 单叶 = π a 2 4 S_{\text{三叶}} = 3 \times S_{\text{单叶}} = \frac{\pi a^2}{4} S 三叶 = 3 × S 单叶 = 4 π a 2
两者之间部分的面积：
S = S 圆 − S 三叶 = π a 2 − π a 2 4 = 3 4 π a 2 S = S_{\text{圆}} - S_{\text{三叶}} = \pi a^2 - \frac{\pi a^2}{4} = \mathbf{\frac{3}{4}\pi a^2} S = S 圆 − S 三叶 = π a 2 − 4 π a 2 = 4 3 π a 2
(5) 双纽线 ( x 2 + y 2 ) 2 = a 2 ( x 2 − y 2 ) (x^2 + y^2)^2 = a^2(x^2 - y^2) ( x 2 + y 2 ) 2 = a 2 ( x 2 − y 2 ) #
解题直觉 ：直角坐标系下极其难算，必须利用极坐标公式。计算步骤 ：
代入极坐标转换公式：x 2 + y 2 = r 2 x^2 + y^2 = r^2 x 2 + y 2 = r 2 x = r cos θ , y = r sin θ x = r \cos\theta, y = r \sin\theta x = r cos θ , y = r sin θ ( r 2 ) 2 = a 2 ( r 2 cos 2 θ − r 2 sin 2 θ ) ⟹ r 4 = a 2 r 2 cos 2 θ ⟹ r 2 = a 2 cos 2 θ (r^2)^2 = a^2(r^2 \cos^2\theta - r^2 \sin^2\theta) \implies r^4 = a^2 r^2 \cos 2\theta \implies \mathbf{r^2 = a^2 \cos 2\theta} ( r 2 ) 2 = a 2 ( r 2 cos 2 θ − r 2 sin 2 θ ) ⟹ r 4 = a 2 r 2 cos 2 θ ⟹ r 2 = a 2 cos 2 θ
确定积分区间：由于 r 2 ≥ 0 r^2 \ge 0 r 2 ≥ 0 cos 2 θ ≥ 0 \cos 2\theta \ge 0 cos 2 θ ≥ 0 − π 2 ≤ 2 θ ≤ π 2 ⟹ − π 4 ≤ θ ≤ π 4 -\frac{\pi}{2} \le 2\theta \le \frac{\pi}{2} \implies -\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{4} − 2 π ≤ 2 θ ≤ 2 π ⟹ − 4 π ≤ θ ≤ 4 π
利用对称性计算双叶总面积：
S = 2 × ( 1 2 ∫ − π 4 π 4 r 2 d θ ) = ∫ − π 4 π 4 a 2 cos 2 θ d θ S = 2 \times \left( \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} r^2 \, \mathrm{d}\theta \right) = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} a^2 \cos 2\theta \, \mathrm{d}\theta S = 2 × ( 2 1 ∫ − 4 π 4 π r 2 d θ ) = ∫ − 4 π 4 π a 2 cos 2 θ d θ = 2 ∫ 0 π 4 a 2 cos 2 θ d θ = 2 a 2 [ sin 2 θ 2 ] 0 π 4 = 2 a 2 ( 1 2 − 0 ) = a 2 = 2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} a^2 \cos 2\theta \, \mathrm{d}\theta = 2a^2 \left[ \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = 2a^2 \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = \mathbf{a^2} = 2 ∫ 0 4 π a 2 cos 2 θ d θ = 2 a 2 [ 2 s i n 2 θ ] 0 4 π = 2 a 2 ( 2 1 − 0 ) = a 2
二、 問題 32.2 详细讲解（曲线长度）# 这里我们重点讲解第 (1) 题。这是一道利用参数方程求弧长的巅峰之作，其代数化简过程非常精妙。
(1) 求曲线 x + y = a \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a} x + y = a L L L #
解题直觉 ：如果直接用直角坐标系公式 ∫ 1 + y ′ 2 d x \int \sqrt{1 + y'^2} \, \mathrm{d}x ∫ 1 + y ′2 d x 参数化方法（参数方程表示） ：
令 x = a cos 4 t x = a \cos^4 t x = a cos 4 t y = a sin 4 t y = a \sin^4 t y = a sin 4 t 0 ≤ t ≤ π 2 0 \le t \le \frac{\pi}{2} 0 ≤ t ≤ 2 π 验证：x + y = a cos 2 t + a sin 2 t = a ( cos 2 t + sin 2 t ) = a \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a} \cos^2 t + \sqrt{a} \sin^2 t = \sqrt{a}(\cos^2 t + \sin^2 t) = \sqrt{a} x + y = a cos 2 t + a sin 2 t = a ( cos 2 t + sin 2 t ) = a 计算步骤 ：
分别求对 t t t ：
d x d t = − 4 a cos 3 t sin t , d y d t = 4 a sin 3 t cos t \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = -4a \cos^3 t \sin t, \quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 4a \sin^3 t \cos t d t d x = − 4 a cos 3 t sin t , d t d y = 4 a sin 3 t cos t 计算弧长微元（根号内部化简） ：
( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 = 16 a 2 cos 6 t sin 2 t + 16 a 2 sin 6 t cos 2 t \left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2 = 16a^2 \cos^6 t \sin^2 t + 16a^2 \sin^6 t \cos^2 t ( d t d x ) 2 + ( d t d y ) 2 = 16 a 2 cos 6 t sin 2 t + 16 a 2 sin 6 t cos 2 t 16 a 2 sin 2 t cos 2 t 16a^2 \sin^2 t \cos^2 t 16 a 2 sin 2 t cos 2 t = 16 a 2 sin 2 t cos 2 t ( cos 4 t + sin 4 t ) = 16a^2 \sin^2 t \cos^2 t \left( \cos^4 t + \sin^4 t \right) = 16 a 2 sin 2 t cos 2 t ( cos 4 t + sin 4 t ) cos 4 t + sin 4 t = ( cos 2 t + sin 2 t ) 2 − 2 sin 2 t cos 2 t = 1 − 2 sin 2 t cos 2 t \cos^4 t + \sin^4 t = (\cos^2 t + \sin^2 t)^2 - 2 \sin^2 t \cos^2 t = 1 - 2 \sin^2 t \cos^2 t cos 4 t + sin 4 t = ( cos 2 t + sin 2 t ) 2 − 2 sin 2 t cos 2 t = 1 − 2 sin 2 t cos 2 t 0 ≤ t ≤ π 2 0 \le t \le \frac{\pi}{2} 0 ≤ t ≤ 2 π d s = 4 a sin t cos t 1 − 2 sin 2 t cos 2 t d t \mathrm{d}s = 4a \sin t \cos t \sqrt{1 - 2 \sin^2 t \cos^2 t} \, \mathrm{d}t d s = 4 a sin t cos t 1 − 2 sin 2 t cos 2 t d t 进行定积分计算 ：
L = ∫ 0 π 2 4 a sin t cos t 1 − 2 sin 2 t cos 2 t d t L = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 4a \sin t \cos t \sqrt{1 - 2 \sin^2 t \cos^2 t} \, \mathrm{d}t L = ∫ 0 2 π 4 a sin t cos t 1 − 2 sin 2 t cos 2 t d t 【换元法破局】 ：令 u = sin 2 t ⟹ d u = 2 sin t cos t d t u = \sin^2 t \implies \mathrm{d}u = 2 \sin t \cos t \, \mathrm{d}t u = sin 2 t ⟹ d u = 2 sin t cos t d t t = 0 ⟹ u = 0 t = 0 \implies u = 0 t = 0 ⟹ u = 0 t = π 2 ⟹ u = 1 t = \frac{\pi}{2} \implies u = 1 t = 2 π ⟹ u = 1 L = 2 a ∫ 0 1 1 − 2 u ( 1 − u ) d u = 2 a ∫ 0 1 2 u 2 − 2 u + 1 d u L = 2a \int_0^1 \sqrt{1 - 2u(1 - u)} \, \mathrm{d}u = 2a \int_0^1 \sqrt{2u^2 - 2u + 1} \, \mathrm{d}u L = 2 a ∫ 0 1 1 − 2 u ( 1 − u ) d u = 2 a ∫ 0 1 2 u 2 − 2 u + 1 d u 配方并套用公式 ：
根号内配方：2 ( u 2 − u + 1 2 ) = 2 [ ( u − 1 2 ) 2 + 1 4 ] 2\left(u^2 - u + \frac{1}{2}\right) = 2\left[ \left(u - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} \right] 2 ( u 2 − u + 2 1 ) = 2 [ ( u − 2 1 ) 2 + 4 1 ] L = 2 2 a ∫ 0 1 ( u − 1 2 ) 2 + ( 1 2 ) 2 d u L = 2\sqrt{2}a \int_0^1 \sqrt{\left(u - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} \, \mathrm{d}u L = 2 2 a ∫ 0 1 ( u − 2 1 ) 2 + ( 2 1 ) 2 d u v = u − 1 2 v = u - \frac{1}{2} v = u − 2 1 − 1 2 → 1 2 -\frac{1}{2} \to \frac{1}{2} − 2 1 → 2 1 L = 2 2 a ∫ − 1 2 1 2 v 2 + ( 1 2 ) 2 d v = 4 2 a ∫ 0 1 2 v 2 + ( 1 2 ) 2 d v L = 2\sqrt{2}a \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{v^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} \, \mathrm{d}v = 4\sqrt{2}a \int_0^{\frac{1}{2}} \sqrt{v^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} \, \mathrm{d}v L = 2 2 a ∫ − 2 1 2 1 v 2 + ( 2 1 ) 2 d v = 4 2 a ∫ 0 2 1 v 2 + ( 2 1 ) 2 d v ∫ x 2 + A d x \int \sqrt{x^2 + A} \, \mathrm{d}x ∫ x 2 + A d x L = a + a 2 log ( 1 + 2 ) L = \mathbf{a + \frac{a}{\sqrt{2}} \log(1 + \sqrt{2})} L = a + 2 a log ( 1 + 2 )
🎓 复习总结建议# 通过这几道练习题，可以明确以下应试技巧：
极坐标面积 ：最核心的是确定 θ \theta θ α \alpha α β \beta β 极坐标面积 ：最核心的是确定 θ \theta θ α \alpha α β \beta β 公式化简 ：在计算曲线长度时，根号下的微元必能通过三角恒等式 或者合理的参数代换 化简。遇到 x + y = a \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a} x + y = a x = a cos 4 t x = a \cos^4 t x = a cos 4 t 翻到了！第 96 页（书本左上角标着 96 ，对应图片的第 106 页）。
这一页非常经典，它是对第 92 页学过的**辛普森近似积分公式（シンプソンの公式 - Simpson’s Rule）**的一次极具实操价值的“硬核演练”。
我们在上一页还在感叹这些近似积分公式的精妙，这一页我们就要用它来手算出自然对数 log 2 \log 2 log 2 ！
下面我将以最清晰、严谨的步骤，为你拆解例题 34 完整的数值计算过程和背后的逻辑：
👑 例题 34：用辛普森公式求解 log 2 \log 2 log 2 # 【题目要求】
将区间 [ 0 , 1 ] [0, 1] [ 0 , 1 ] 10 10 10 10 10 10 ∫ 0 1 d x 1 + x \int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{1 + x} ∫ 0 1 1 + x d x log 2 \log 2 log 2 5 5 5
Step 1：寻找定积分与 log 2 \log 2 log 2 # 为什么这个积分能算出 log 2 \log 2 log 2 ∫ 0 1 1 1 + x d x = [ log ∣ 1 + x ∣ ] 0 1 = log 2 − log 1 = log 2 \int_0^1 \frac{1}{1 + x} \, \mathrm{d}x = [ \log|1 + x| ]_0^1 = \log 2 - \log 1 = \log 2 ∫ 0 1 1 + x 1 d x = [ log ∣1 + x ∣ ] 0 1 = log 2 − log 1 = log 2 log 2 \log 2 log 2
Step 2：确定计算参数（游戏配置）#
等分数 2 n = 10 2n = 10 2 n = 10 （切成 10 10 10 n = 5 n = 5 n = 5 步长 h h h ：h = 1 − 0 10 = 0.1 h = \frac{1 - 0}{10} = 0.1 h = 10 1 − 0 = 0.1 被积函数 f ( x ) f(x) f ( x ) ：f ( x ) = 1 1 + x f(x) = \frac{1}{1 + x} f ( x ) = 1 + x 1 切点坐标 x i x_i x i ：x 0 = 0 , x 1 = 0.1 , x 2 = 0.2 , … , x 10 = 1.0 x_0 = 0, x_1 = 0.1, x_2 = 0.2, \dots, x_{10} = 1.0 x 0 = 0 , x 1 = 0.1 , x 2 = 0.2 , … , x 10 = 1.0 为了保证最后能精确到小数点后第 5 5 5 y i = f ( x i ) y_i = f(x_i) y i = f ( x i ) 小数点后第 7 7 7 。
Step 3：计算各切点高度 y i y_i y i #
两端点（首尾相加） ：
y 0 = f ( 0 ) = 1 y_0 = f(0) = 1 y 0 = f ( 0 ) = 1 y 10 = f ( 1.0 ) = 1 2 = 0.5 y_{10} = f(1.0) = \frac{1}{2} = 0.5 y 10 = f ( 1.0 ) = 2 1 = 0.5 y 0 + y 10 = 1.5000000 y_0 + y_{10} = \mathbf{1.5000000} y 0 + y 10 = 1.5000000 奇数项（系数为 4 4 4 ：
我们需要算出 y 1 , y 3 , y 5 , y 7 , y 9 y_1, y_3, y_5, y_7, y_9 y 1 , y 3 , y 5 , y 7 , y 9
y 1 = 1 1.1 ≈ 0.9090909 y_1 = \frac{1}{1.1} \approx 0.9090909 y 1 = 1.1 1 ≈ 0.9090909 y 3 = 1 1.3 ≈ 0.7692308 y_3 = \frac{1}{1.3} \approx 0.7692308 y 3 = 1.3 1 ≈ 0.7692308 y 5 = 1 1.5 ≈ 0.6666667 y_5 = \frac{1}{1.5} \approx 0.6666667 y 5 = 1.5 1 ≈ 0.6666667 y 7 = 1 1.7 ≈ 0.5882353 y_7 = \frac{1}{1.7} \approx 0.5882353 y 7 = 1.7 1 ≈ 0.5882353 y 9 = 1 1.9 ≈ 0.5263158 y_9 = \frac{1}{1.9} \approx 0.5263158 y 9 = 1.9 1 ≈ 0.5263158 3.4595395 3.4595395 3.4595395 4 4 4 4 × 3.4595395 = 13.8381580 4 \times 3.4595395 = \mathbf{13.8381580} 4 × 3.4595395 = 13.8381580
偶数项（系数为 2 2 2 ：
我们需要算出 y 2 , y 4 , y 6 , y 8 y_2, y_4, y_6, y_8 y 2 , y 4 , y 6 , y 8
y 2 = 1 1.2 ≈ 0.8333333 y_2 = \frac{1}{1.2} \approx 0.8333333 y 2 = 1.2 1 ≈ 0.8333333 y 4 = 1 1.4 ≈ 0.7142857 y_4 = \frac{1}{1.4} \approx 0.7142857 y 4 = 1.4 1 ≈ 0.7142857 y 6 = 1 1.6 = 0.6250000 y_6 = \frac{1}{1.6} = 0.6250000 y 6 = 1.6 1 = 0.6250000 y 8 = 1 1.8 ≈ 0.5555556 y_8 = \frac{1}{1.8} \approx 0.5555556 y 8 = 1.8 1 ≈ 0.5555556 2.7281746 2.7281746 2.7281746 2 2 2 2 × 2.7281746 = 5.4563492 2 \times 2.7281746 = \mathbf{5.4563492} 2 × 2.7281746 = 5.4563492
Step 4：代入辛普森大公式，终极大合体# 辛普森公式：
I ≈ h 3 { ( y 0 + y 10 ) + 4 ( 奇数项和 ) + 2 ( 偶数项和 ) } I \approx \frac{h}{3} \left\{ (y_0 + y_{10}) + 4(\text{奇数项和}) + 2(\text{偶数项和}) \right\} I ≈ 3 h { ( y 0 + y 10 ) + 4 ( 奇数项和 ) + 2 ( 偶数项和 ) } I ≈ 0.1 3 { 1.5000000 + 13.8381580 + 5.4563492 } I \approx \frac{0.1}{3} \left\{ 1.5000000 + 13.8381580 + 5.4563492 \right\} I ≈ 3 0.1 { 1.5000000 + 13.8381580 + 5.4563492 } I ≈ 0.1 3 × 20.7945072 I \approx \frac{0.1}{3} \times 20.7945072 I ≈ 3 0.1 × 20.7945072 I ≈ 0.69315024 I \approx 0.69315024 I ≈ 0.69315024
根据题目要求，四舍五入保留到小数点后第五位 ：
log 2 ≈ 0.69315 \log 2 \approx \mathbf{0.69315} log 2 ≈ 0.69315
💡 导师复盘与“神迹”对比# 你知道 log 2 \log 2 log 2 log 2 ≈ 0.69314718 … \log 2 \approx 0.69314718\dots log 2 ≈ 0.69314718 …
你看！我们仅仅用了 10 10 10 0.69315 0.69315 0.69315 误差仅为 0.000003 0.000003 0.000003 ！
这就是为什么辛普森公式在工程上如此备受推崇的原因——哪怕划分很少，它的二次抛物线拟合也能带来极高的精确度。
页面底部的 問題 34.1 是完全一样套路的经典练习：
让你通过定积分 ∫ 0 1 d x 1 + x 2 \int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{1 + x^2} ∫ 0 1 1 + x 2 d x tan − 1 ( 1 ) = π 4 \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} tan − 1 ( 1 ) = 4 π π \pi π f ( x ) = 1 1 + x 2 f(x) = \frac{1}{1 + x^2} f ( x ) = 1 + x 2 1
