第 1 题：综合极限与判别法（基础与进阶混合）#

第 2 题：【核弹级压轴题】若 $\sum a_n^2$ 收敛，证明 $\sum \frac{a_n}{n}$ 绝对收敛#

【导师破题】 这道题如果你没见过这个套路，考场上想破脑袋也做不出来；但只要见过一次，3行字就能拿满分！ 题目说要证明 $\sum \frac{a_n}{n}$ 绝对收敛，其实就是要证明 $\sum \left| \frac{a_n}{n} \right|$ 收敛。 已知条件只有 $a_n^2$ 收敛。怎么把 $|a_n|$ 变成 $a_n^2$ 呢？ 核心武器：基本不等式（相加・相乗平均の関係）：对于任意实数 $x, y$，都有 $2|xy| \le x^2 + y^2$，即 $|xy| \le \frac{1}{2}(x^2 + y^2)$。

【完美推导（满分格式）】

1. 利用基本不等式，将通项放缩： $\left| \frac{a_n}{n} \right| = \left| a_n \cdot \frac{1}{n} \right| \le \frac{1}{2} \left( a_n^2 + \frac{1}{n^2} \right)$
2. 观察不等式右边的两部分：
   • 第一部分：题目已知 $\sum a_n^2$ 是收敛的。
   • 第二部分：我们熟知的 $p$级数（$p=2>1$），所以 $\sum \frac{1}{n^2}$ 也是收敛的。
3. 因为两个收敛级数相加仍然收敛，所以“大哥”级数 $\sum \frac{1}{2} \left( a_n^2 + \frac{1}{n^2} \right)$ 是收敛的。
4. 根据比较判定法（比較判定法），比它小的级数 $\sum \left| \frac{a_n}{n} \right|$ 必定收敛。
5. 既然绝对值级数收敛，那么原级数 $\sum \frac{a_n}{n}$ 就是 绝对收敛（絶対収束）。证明完毕！

第 3 题：求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n S_n}$ 的收敛半径 （已知 $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$）#

【导师破题】 不要被 $S_n$（其实就是调和级数的前 $n$ 项和）吓到！求收敛半径的套路是不变的：算出系数 $c_n = \frac{1}{n S_n}$，然后硬套比值法的极限公式 $\lim \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right|$。

【完美推导】

1. 设定系数 $c_n = \frac{1}{n S_n}$，下一项 $c_{n+1} = \frac{1}{(n+1) S_{n+1}}$。
2. 代入收敛半径 $\rho$ 的极限公式（注意这里直接用大除以小，等于倒数）： $\rho = \lim_{n \to \infty} \frac{c_n}{c_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) S_{n+1}}{n S_n}$
3. 拆分化简：把 $\frac{n+1}{n}$ 和 $\frac{S_{n+1}}{S_n}$ 拆开看。 $\rho = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \cdot \left( \frac{S_n + \frac{1}{n+1}}{S_n} \right)$ $\rho = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \cdot \left( 1 + \frac{1}{(n+1)S_n} \right)$
4. 观察极限：
   • $1 + \frac{1}{n} \to 1$
   • 因为 $S_n$ 是调和级数，随着 $n \to \infty$，$S_n \to \infty$。所以 $\frac{1}{(n+1)S_n} \to 0$。后面那个括号也趋于 $1+0=1$。
5. 结论： $\rho = 1 \cdot 1 = 1$。收敛半径 $\rho = 1$。

第 4 题：判定 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\log n}{n^2}$ 的敛散性#

【导师破题】 比较判别法的高阶运用！你如果直接拿它和 $\frac{1}{n^2}$ 比，发现 $\frac{\log n}{n^2} > \frac{1}{n^2}$，比收敛的大，啥也推不出来（这叫放缩失败）。 我们需要找一个介于 $n^1$ 和 $n^2$ 之间的 $p$级数，比如 $n^{1.5}$。

【完美推导】

1. 我们知道对数函数 $\log n$ 增长非常慢，它比任何正次幂的多项式都要慢。
2. 我们构造一个比较级数，比如选择 $p = 1.5$ 的 $p$级数：$\sum \frac{1}{n^{1.5}} = \sum \frac{1}{n\sqrt{n}}$。这是一个收敛的级数（因为 $1.5 > 1$）。
3. 我们考察这两个通项的比值（极限比较法 / 極限比較法）： $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\log n}{n^2}}{\frac{1}{n^{1.5}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\log n}{n^{0.5}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\log n}{\sqrt{n}}$
4. 这个极限等于多少？用一次洛必达法则： $\lim_{n \to \infty} \frac{1/n}{\frac{1}{2\sqrt{n}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{n}} = 0$
5. 因为两者的比值极限是 0，说明在无穷远处，分子 $\frac{\log n}{n^2}$ 比分母 $\frac{1}{n^{1.5}}$ 还要小得多。
6. 既然比一个收敛的级数还要小，根据极限比较法，原级数必定 收敛（収束する）。

🎓 导师闭门点拨：#

这4道大题完美展现了日本院试中对级数的考察维度：

• 第1题(3)考积分判别法。
• 第2题考不等式放缩。
• 第3题考敛散性的代数极限推导。
• 第4题考极限比较法（找对标 $p$级数）。

👑 模块一：数列的极限（数列の極限）#

核心任务： 判断一个数列 $a_n$ 是否趋于某个具体的数。 考场必备武器：

1. 夹逼定理（はさみうちの定理）： 院试最爱！遇到 $\sqrt[n]{A^n + B^n}$（抓大头）或者带有 $\sin, \cos$ 的复杂数列，放缩后两头一夹，极限立现。
2. 有界单调数列必收敛（有界単調数列の収束性）： 专治递推公式（漸化式 $a_{n+1} = f(a_n)$）。用数学归纳法证明单调递增且有上界，就能直接设极限值为 $\alpha$，解方程 $\alpha = f(\alpha)$ 求出极限。
3. 神级底座 $e$： 必须牢记 $\lim_{n\to\infty}(1 + \frac{1}{n})^n = e$ 以及它的变体。

🛡️ 模块二：正项级数的敛散性判定（正項級数の判定法）#

核心任务： 给一串正数求和 $\sum a_n$，判断它是无限大（发散），还是一个有限的数（收敛）。 导师独家口诀（看到长相直接选武器）：

1. 达朗贝尔判别法（ダランベールの判定法 / 比值法）：
   • 触发关键词： 题目里有 阶乘 $n!$ 或 指数 $a^n$ 或 一长串连乘。
   • 操作： 算 $r = \lim \frac{a_{n+1}}{a_n}$。$r<1$ 收敛，$r>1$ 发散。
2. 柯西根值判别法（コーシーの判定法 / 根值法）：
   • 触发关键词： 整个通项被 $n$ 次方包裹，例如 $(\cdots)^n$。
   • 操作： 算 $r = \lim \sqrt[n]{a_n}$。$r<1$ 收敛，$r>1$ 发散。
3. 比较判别法（比較判定法）：
   • 触发关键词： 上下都是多项式，或者有 $\sin, \cos$ 需要被放缩。
   • 操作： 找“对标大哥”—— $p$级数（ゼータ級数 $\sum \frac{1}{n^p}$）。记住：$p>1$ 收敛，$p \le 1$ 发散（调和级数发散）。
4. 积分判别法（積分判定法）：
   • 触发关键词： 遇到 $\log n$ 放在分母上，比较法失效时。
   • 操作： 直接算反常积分 $\int_1^\infty f(x)dx$，积分收敛则级数收敛。

☯️ 模块三：带有负号的级数（交項級数と絶対収束）#

核心任务： 判断符号交替或乱变的级数。 考场两步走战略：

1. 先测“绝对收敛（絶対収束）”： 强行套上绝对值 $|a_n|$，去掉负号和 $\sin/\cos$（利用 $|\sin x| \le 1$ 放缩）。如果正项级数 $\sum |a_n|$ 收敛，直接宣布“绝对收敛”，满分到手。
2. 后测“条件收敛（条件収束）”： 如果加了绝对值发散（比如变成调和级数），那就用交错级数判别法（定理1.8）。只要满足“数字绝对值单调递减”且“极限为0”，就宣布“条件收敛”。

🌟 模块四：整级数与收敛半径（整級数と収束半径）#

核心任务： 带有未知数 $x$ 的级数 $\sum a_n x^n$，求 $x$ 取什么范围时级数收敛。这是必定会考的核心点！ 无脑三步走：

1. 算半径 $\rho$： 提炼出系数 $a_n$，用极限公式 $r = \lim \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$ 或 $\lim \sqrt[n]{|a_n|}$。收敛半径 $\rho = 1/r$。
2. 定开区间： 写出初步安全区 $-\rho < x < \rho$。
3. 查端点（端点の吟味）： 极其重要！把 $x = \rho$ 和 $x = -\rho$ 分别代入原级数，变成常数级数。用模块二和模块三的方法判断。收敛就变成闭区间 $[\ ]$，发散就保持开区间 $(\ )$。

高阶魔法（項別微分・積分）： 在收敛半径内部，你可以把这串级数当成普通多项式，任意逐项求导、逐项积分，且收敛半径 $\rho$ 不会改变！这是求各种奇葩展开式（如 $\arctan x$）的最强套路。

🎓 导师寄语#

微积分的“黄本”第一章，全篇都在教你一件事：估算量级与放缩。 你需要建立一个直觉： 常数 < 对数函数 ($\log n$) < 幂函数 ($n^p$) < 指数函数 ($a^n$) < 阶乘 ($n!$) < 终极boss ($n^n$)

在判断极限和收敛性时，谁长得快，谁就掌握话语权！

应试技巧#