Determinant of Matrix B and Cross Product: Graduate Exam Exercises#

存在性证明#

我们利用外积的坐标表示和行列式的性质。 设 $A$ 的行向量分别为 $a_1, a_2, a_3$。则 $xA$ 可以表示为 $x$ 的分量与 $A$ 的行向量的线性组合： $xA = x_1 a_1 + x_2 a_2 + x_3 a_3$ 同理，$yA = y_1 a_1 + y_2 a_2 + y_3 a_3$。

根据外积的分配律： $(xA) \times (yA) = \sum_{i,j=1}^{3} (x_i y_j)(a_i \times a_j)$

由于 $a_i \times a_i = 0$ 且 $a_i \times a_j = -(a_j \times a_i)$，上式可整理为： $(xA) \times (yA) = (x_1 y_2 - x_2 y_1)(a_1 \times a_2) + (x_2 y_3 - x_3 y_2)(a_2 \times a_3) + (x_3 y_1 - x_1 y_3)(a_3 \times a_1)$

观察 $x \times y$ 的定义： $x \times y = (x_2 y_3 - x_3 y_2, x_3 y_1 - x_1 y_3, x_1 y_2 - x_2 y_1)$

令 $z = x \times y = (z_1, z_2, z_3)$。带入上面的展开式得到： $(xA) \times (yA) = z_1(a_2 \times a_3) + z_2(a_3 \times a_1) + z_3(a_1 \times a_2)$

这恰好是一个行向量乘以一个矩阵的形式。若定义矩阵 $B$ 的三行分别为：

• 第 1 行: $a_2 \times a_3$
• 第 2 行: $a_3 \times a_1$
• 第 3 行: $a_1 \times a_2$

则显然成立 $(xA) \times (yA) = (x \times y)B$。存在性得证。 （补充说明：这个 $B$ 其实就是 $A$ 的 伴随矩阵 $\text{adj}(A)$ 的转置，即余子矩阵）。

唯一性证明#

假设存在两个矩阵 $B$ 和 $B'$ 满足条件。则对于任意 $x, y$： $(x \times y)B = (x \times y)B' \implies (x \times y)(B - B') = 0$

由于 $x, y$ 是任意的，其外积 $x \times y$ 可以取遍 $\mathbb{R}^3$ 中的任何向量。 令 $z = x \times y$，若 $z(B - B') = 0$ 对所有 $z$ 成立，则必有 $B - B' = O$（零矩阵），即 $B = B'$。唯一性得证。