このメモは本の６－８ページを参照しています。

無限級数の収束性と p 級数の判定法#

1. 基本性質：級数が収束すると項は 0 に近づく#

無限級数

\sum_{n=1}^\infty a_n = S

が収束するとする。部分和

S_N = \sum_{n=1}^N a_n

が極限 $S$ に収束する場合、

a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0

結論：級数が収束する場合、項 $a_n$ は 0 に近づく。

注意：逆は成り立たない。例えば調和級数 $\sum 1/n$ は項が 0 に近づくが、級数は発散する。

調和級数：

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}

は代表的な発散級数である。
積分比較法により証明できる：

\sum_{n=1}^N \frac{1}{n} \ge \int_1^N \frac{1}{x}\,dx = \ln N \to \infty

級数 $\sum a_n$ が収束するのは次の条件と同値である：

任意の $\varepsilon > 0$ に対し、ある $N$ が存在して、全ての $m>n>N$ に対して

|a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_m| < \varepsilon

が成り立つ。

部分和列 $\{S_n\}$ が Cauchy 列であること ⇔ 収束。

正の単調列 $a_n, b_n$ が存在して、十分大きな $n$ に対して

0 \le a_n \le b_n

が成り立つ場合：

p 級数は

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}, \quad p\in \mathbb{R}

で定義される。

結論：

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} \text{ は収束 } \iff p>1

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} \text{ は発散 } \iff 0<p\le 1

関数 $f(x) = x^{-p}$ は $[1,\infty)$ 上で連続、単調減少、非負である。積分判定法により：

\sum_{n=1}^\infty f(n) \text{ は } \int_1^\infty f(x)\,dx \text{ と同じ収束性を持つ}

\int_1^\infty \frac{1}{x^p} \, dx = \lim_{t\to\infty} \frac{x^{1-p}}{1-p}\Big|_1^t = \lim_{t\to\infty} \frac{t^{1-p}-1}{1-p} = \frac{1}{p-1} < \infty

収束

\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx = \lim_{t\to\infty} \ln t = \infty

発散（調和級数）

\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx = \lim_{t\to\infty} \frac{t^{1-p}-1}{1-p} = \infty

発散

正の単調減少列 $a_n$ に対して

\sum_{n=1}^\infty a_n \text{ は } \sum_{k=0}^\infty 2^k a_{2^k} \text{ と同じ収束性を持つ}

$p$ 級数の場合 $a_n = n^{-p}$ とすると：

\sum_{k=0}^\infty 2^k a_{2^k} = \sum_{k=0}^\infty 2^k \cdot (2^k)^{-p} = \sum_{k=0}^\infty 2^{k(1-p)}

これは等比級数で、公比 $r = 2^{1-p}$ ：

積分法と同じ結論